Kern und Bild einer Abbildung bestimmen

03.12.2014, 15:36	Ninad	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild einer Abbildung bestimmen Meine Frage: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt <·,·> und $\begin{eqnarray} u \in V mit \|\|u\|\|=1. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f:V \longrightarrow V, v \mapsto <v,u>u \end{eqnarray}$ eine Orthogonalprojektion ist, und bestimmen Sie Kern(f) und Bild(f). Meine Ideen: Das mit der Orthogonalprojektion ist gezeigt, bin mir nur nicht ganz sicher, beim Kern und Bild von f. Kern(f) sind ja alle $\begin{eqnarray} v \in V, \end{eqnarray}$ für die gilt <v,u>u = 0, also einfach alle $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ , die zu $\begin{eqnarray} u \in V \end{eqnarray}$ orthogonal sind? Und was ist dann das Bild von f ? Bin mir dabei nicht sicher. Lieben Gruß:-)
03.12.2014, 17:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern(f) stimmt fast. In Kern(f) liegen alle v, die zu span(u) orthogonal sind, also $\begin{eqnarray} Kern(f)=span(u)^\perp \end{eqnarray}$ . Wenn du nochmal hinschaust, siehst du sofort, dass im Bild von f Vektoren liegen, die skalare Vielfache von u sind. Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray} Bild(f)=span(u) \end{eqnarray}$
03.12.2014, 18:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis: Wo ist denn der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} u^\perp \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{span}(u)^\perp \end{eqnarray}$ ?
03.12.2014, 19:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
u ist ein Vektor, span(u) ein UVR, von letzterem kann ich das orthogonale komplement bilden. In unordentlicher Schreibweise ist beides gleich. Recht ordentlich wäre vielleicht auch das orthogonale Komplement der Menge {u} . Insbesondere im Zusammenhang mit dieser Aufgabe ziehe ich es vor, von Untervektorräumen zu sprechen, da ja Kern und Bild einer linearen Abbildung Untervektorräume sind. Und das Gleiche gilt für orthogonale Komplemente von Teilmengen oder Untervektorräumen - es sind stets Untervektorräume.
03.12.2014, 21:25	Ninad	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ich hab es jetzt raus!

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