Zufriedenheit von Passagieren

03.12.2014, 17:30

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Zufriedenheit von Passagieren

Meine Frage:
Abend,

eine Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet:

Ein Reiseunternehmen gibt an, dass 95& der Passagiere zufrieden sind.

a) Wie viele Passagiere müssen mindestens befragt werden , damit unter ihnen mit einer Wsk. von mind 90% 2 unzufrieden sind ?

b) Nach Übernahme des Reisunternehmend hat sich der Anteil der zufriedenen Passagier geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Passagier unter 100 Passagieren zu finden ist auf 5% gestiegen. Wie groß ist der Anteil der zufriedenen Passagiere jetzt ?

Meine Ideen:
a) Da "mindestens 2" bedeutet 2,3,4....
kann ich das Gegenereignis bilden: 1- [P(X=0) + P (X=1)]

... und so aufschreiben: 1- [P(X=0) + P (X=1)] > 0,90

Wie erhalte ich aber die Wsk für die Fälle, dass keiner oder einer
unzufrieden ist ?

b)hier fehlt mir der rechte Ansatz.

05.12.2014, 12:06

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RE: Zufriedenheit von Passagieren
Warum hilft denn keiner unglücklich

unglücklich

05.12.2014, 12:18

Bjoern1982

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Zitat:

Wie erhalte ich aber die Wsk für die Fälle, dass keiner oder einer unzufrieden ist ?

Gar nicht. Du kannst sie lediglich in Abhängigkeit von n angeben.
Dadurch entstehen aber Gleichungen, die von Hand wohl nicht (oder nur mit einem Näherungsverfahren) zu lösen sind.
Darfst du einen GTR bzw ein CAS benutzen ?
Bei welchem Thema seid ihr gerade, Binomialverteilung ?

Bei b) läuft es recht ähnlich, nur dass dieses mal n gegeben und p gesucht ist. Aber auch hier entsteht wohl eine komplizierte Gleichung.

05.12.2014, 20:01

klauss

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Habe das mal mit der Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung durchgerechnet, obwohl die Voraussetzungen hierfür wohl eigentlich nicht ganz erfüllt sind. Damit erhalte ich zu a) zunächst das Ergebnis 'mindestens 80'. Nach Gegenprobe mit der Binomialverteilung müßte das tatsächliche Ergebnis 'mindestens 77' sein. Also ganz gut getroffen. Vielleicht mag das jemand überprüfen, falls ich mich da "verhauen" haben sollte.

05.12.2014, 22:08

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Vielen Dank für die Antowrten.

@Bjoern1982: Wir sind gerade beim Thema Binomialvertileung und machen gerade verschiedene Augaben zur kumulierten Wahscheinlichkeit etc..

@klauss: Laut unserer Lehrerin soll bei der a) auch mind. 77 rauskommen.

Ich habe mich nochmals an der Aufgabe probiert und mit meinem Ansatz folgende Gleichung aufstellen können. Nun weiß ich aber nicht wie ich diese geschickt lösen kann:

$\begin{eqnarray*} 1-0,95^{k} * k * 0,95^{k-1} *0,05 \geq 0,9 \end{eqnarray*}$

Ich habe - 0,9 gerechnet und durch 0,05 geteilt und folgende Gleichung erhalten:

$\begin{eqnarray*} 2\geq 0,95^{k} + k*0,95^{k-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber, das Problem: Wie komme ich auf k ?

Danke smile

smile

PS: auf die b) würde ich gerne zurgreifen, wen ich die a) verstanden habe.

06.12.2014, 21:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Back
$\begin{eqnarray*} 1-0,95^{k} * k * 0,95^{k-1} *0,05 \geq 0,9 \end{eqnarray*}$

Verschrieben, richtig ist $\begin{align*} 1-0.95^k - k\cdot 0.95^{k-1} \cdot 0.05 \geq 0.9 \end{align*}$

Zitat:

Original von Back
Ich habe - 0,9 gerechnet und durch 0,05 geteilt und folgende Gleichung erhalten:

$\begin{eqnarray*} 2\geq 0,95^{k} + k*0,95^{k-1} \end{eqnarray*}$

Und leider auch verrechnet, richtig ist $\begin{align*} 2 \geq 20\cdot 0.95^k + k\cdot 0.95^{k-1} \end{align*}$ .

Leider hast du mit der falschen Formel nun auch noch unnötigerweise einen neuen Thread aufgemacht, der am besten gleich gelöscht wird. unglücklich

unglücklich

Zu den Lösungsmöglichkeiten hat Bjoern schon was gesagt.

Zitat:

Original von Bjoern1982
Dadurch entstehen aber Gleichungen, die von Hand wohl nicht (oder nur mit einem

Du könntest dich also z.B. mit dem Newton-Verfahren rantasten. Auf den letzten Metern zumindest bleibt eh nur Einzelprüfung, da ja eine ganzzahlige Lösung gesucht ist.

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06.12.2014, 21:20

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Danke Hal_9000 für die Antwort.
Leider finde ich keinen Zugang der zum Ergebnis führt.
Die Aufgabe soll aber auch nur schriftlich bzw. mit Termumformungen zu lösen sein.

Ich weiiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann.

06.12.2014, 21:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Back
Die Aufgabe soll aber auch nur schriftlich bzw. mit Termumformungen zu lösen sein.

Dieses Mantra kannst du natürlich wiederholen - die mathematische Wirklichkeit ist eine andere. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Normalverteilungsapproximation kann da am Verteilungsrand nicht wirklich empfohlen werden: Der Fehler ist da zu groß.

06.12.2014, 21:26

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Ok.Ok.

smile

Wenn man alles vergisst was bis jetzt geschrieben hab, dann müsste diese Aufgabe doch mit dem Standardwissen über die Binomialverteilung lösbar sein ? - Aber wie ?

06.12.2014, 22:01

HAL 9000

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Ist es doch auch, und es steht bereits da.

06.12.2014, 23:10

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Ich verstehe nur noch Bahnhof.

Stimmt mein Ansatz soweit:

QUOTE]Da "mindestens 2" bedeutet 2,3,4.... kann ich das Gegenereignis bilden: 1- [P(X=0) + P (X=1)] ... und so aufschreiben: 1- [P(X=0) + P (X=1)] > 0,90[/QUOTE]

Kann ich damit überhaupt auf die Lösung kommen ?[

07.12.2014, 12:26

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Woran hängts bei mir ? - Wenn mi dass jemand zumindest sagen könnte...

07.12.2014, 12:51

Bjoern1982

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Es hängt bei dir in dem Sinne, dass du offenbar nicht begriffen hast, dass hier bereits alles steht, was du wissen bzw tun musst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für a) musst du die von HAL erwähnt Gleichung betrachten:

Zitat:

Verschrieben, richtig ist
$\begin{eqnarray*} 1-0,95^{k} - k * 0,95^{k-1} *0,05 \geq 0,9 \end{eqnarray*}$

Das führt dann nun mal zu einer (Un)Gleichung, die von Hand durch die von dir erwähnten "einfachen Termumformungen" nicht zu lösen ist.
Klassiker, wo das von Hand problemlos geht, sind die Fälle wie "damit unter ihnen mit einer Wsk. von mind 90% mindestens 1 unzufrieden sind ?" oder "damit unter ihnen mit einer Wsk. von mind 90% keiner unzufrieden ist ?".
WENN überhaupt, dann kannst du jetzt ein so genanntes Näherungsverfahren benutzen (wobei ich nicht glaube, dass ihr sowas jetzt unbedingt im Unterricht hattet) oder man löst das mit einem entsprechenden GTR/CAS, denn solche Aufgabentypen sind in NRW zumindest genau auf solche Problemstellungen ausgelegt.

07.12.2014, 14:16

HAL 9000

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Denkbar ist auch ein anderes Herantasten, das zwar langsamer als das Newton-Verfahren konvergiert, dafür aber "robust". Ich stelle dazu $\begin{align*} 2 \geq 20\cdot 0.95^k + k\cdot 0.95^{k-1} \end{align*}$ nochmal um durch Zusammenfassen der rechten Seite:

$\begin{align*} 2 \geq (19+k)\cdot 0.95^{k-1} \end{align*}$ .

Unter der Voraussetzung, dass alle Lösungen $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$ sind, folgt daraus

$\begin{align*} 2 \geq (19+k_0)\cdot 0.95^{k-1} \end{align*}$ , was nach $\begin{align*} k \end{align*}$ umgestellt

$\begin{align*} k \geq 1 + \frac{\ln\left(\frac{2}{19+k_0}\right)}{\ln(0.95)} \qquad (*) \end{align*}$

ergibt. Starten wir etwa mit $\begin{align*} k_0 = 0 \end{align*}$ , so liefert (*) die Beziehung $\begin{align*} k\geq 44.89 \end{align*}$ , also $\begin{align*} k\geq 45 \end{align*}$ . Nun kann man (*) erneut mit $\begin{align*} k_0=45 \end{align*}$ anwenden...

08.12.2014, 15:57

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Also..
ich habe meine Lehrerin heute nochmal auf die Aufgabe angesprochen und ihr die "Sachlage" geschildert.

Sie hat mir folgened Gleichung gegeben:

$\begin{eqnarray*} 0,95^{n} + n*0,95^{n-1} *0,05 \leq 0,1 \end{eqnarray*}$

Wie man auf die Gleichung kommt ist mir klar (ist ja wie oben), aber sie behart darauf, dass sie wieder mal "mit einfachster Termumformung" zu lösen sei. WIE ????

Die Methode von HAL_9000 sei richtig, aber laut ihr soll es einfacher und schneller gehen.

08.12.2014, 17:58

HAL 9000

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Gegen autoritätsgläubige Schüler ist kein Kraut gewachsen. Vielleicht sollte ich da meinen Doktortitel ins Spiel bringen? Big Laugh

Big Laugh

08.12.2014, 18:07

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Ich weiß schon, dass hier hochbegabte Mathematiker unterwegs sind. Allein schon an den Sternen smile

smile

Mich wundert nur die Beharrlichkeit meiner Lehrerin. Naja, sie will es in der nächste Stunde vorrechnen ... und dann wird sich (hoffentlich) die Unlösbarkeit mit zumindest Grundkurstypischen Basiswissen beweisen. Ich danke für euer/dein Verständnis und Mühe Wink

Wink

Mit Zunge

08.12.2014, 21:04

Bjoern1982

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Für den Fall, dass deine Lehrerin uns allen hier weit überlegen ist, poste aber bitte dann auch, was dabei dann so rausgekommen ist. Freude

Freude

08.12.2014, 22:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Back
und dann wird sich (hoffentlich) die Unlösbarkeit mit zumindest Grundkurstypischen Basiswissen beweisen.

"Unlösbar" ist Unsinn: Auch ein Hochzählen $\begin{align*} k=0,1,\ldots \end{align*}$ bis man schließlich ein $\begin{align*} k \end{align*}$ gefunden hat, was die Ungleichung löst, wäre eine legitime Methode - wenn auch etwas rechenaufwändig. Aber auf jedenfalls mit Schulwissen (und ein wenig rechentechnischer Unterstützung) machbar.

09.12.2014, 14:08

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Sie hat uns das Einsetzten dh. das Durchprobieren empfohlen, aber gleichzeitig den Eindruck erweckt, dass sich das Aufgabenblatt, welche Sie uns nicht gegeben hat richtig angeschaut hat, sondern nur vom Thema 8dh. die Überschirft "Binomialverteilung"), das wir gerade machen ausgegangen ist.

Außerdem wäre dieses Aufgabe auch durch eine Software, die auf unseren Schul-Pc's installiert seie lösbar.

Ich weiß nicht, was ich sgaen soll für dieses Tohuwaboh, welches ich verursacht habe ....
Ich danke nochmals allen und wünsche liebe Grüße Mit Zunge

Mit Zunge

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