Erwartungswert einer bedingten Poissonverteilten Summe von Zufallsvariablen

03.12.2014, 21:20	Ben Toasty	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert einer bedingten Poissonverteilten Summe von Zufallsvariablen Guten Abend, ich habe momentan Probleme bei einer Aufgabe und hoffe mir kann jemand helfen. Sei $\begin{eqnarray} \lambda_{n} > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} (X_{0},...,X_{n}) : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray}$ ein Zufallsvektor mit unabhängigen Koordinaten, sodass $\begin{eqnarray} X_{n} \sim Poi(\lambda_{n}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_{0} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass: $\begin{eqnarray} \mathbb{E} \left( \sum_{k=1}^{X_{0}+1} X_{k}\right ) = \lambda(\lambda +1) \end{eqnarray}$ gilt, falls $\begin{eqnarray} \lambda_{0} = \lambda_{1} =\lambda_{3}=...=\lambda>0 \end{eqnarray}$ . Geben Sie ferner eine Folge $\begin{eqnarray} (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ an, sodass die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{X_{0}+1} X_{k} \end{eqnarray}$ nicht integrierbar ist. Meine Ideen zur ersten Aufgabe: Ich wollte mir die Summe als neue Zufallsvariable definieren. Diese ist, da die einzelnen Koordinaten Poisson-verteilt sind wieder Poisson verteilt und damit auch diskret verteilt. Dann sollte gelten: $\begin{eqnarray} \mathbb{E} \left( \sum_{k=1}^{X_{0}+1} X_{k}\right ) =\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P \left ( \sum_{k=1}^{X_{0}+1} X_{k} =k \right ) =\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \left ( \sum_{n=0}^{\infty} P \left ( \sum_{i=1}^{n+1} X_{i} =k \right ) \cdot P(X_{0}=n) \right ) \end{eqnarray}$ . Dann habe ich genutzt, dass die Zufallsvariablen poissonverteilt sind. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {e^{-(n+1) \lambda} ((n+1)\lambda)^k} {k!} \cdot \frac {e^{-\lambda}\lambda^n}{n!} \end{eqnarray}$ . Diese Summe bekomme ich allerdings nicht aufgelöst. Ist der Ansatz soweit richtig ? Über Antworten würde ich mich sehr freuen. EDIT: Mir ist aufgefallen, dass es ja per Vorraussetzung nur endlich viele Zufallsvariablen sind. Ist die Summe dann noch wohldefiniert oder ggf. nicht? Viele Grüße
04.12.2014, 00:12	Ben Toasty	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich inzwischen noch an einem anderen Ansatz probiert und es kommt auch die richtige Gleichung raus, allerdings bin ich mir recht sicher dass eine Umformung falsch ist: $\begin{eqnarray} \mathbb{E} \left( \sum_{k=1}^{X_{0}+1} X_{k}\right ) =\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P \left ( \sum_{k=1}^{X_{0}+1} X_{k} =k \right ) =\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \left ( \sum_{n=0}^{\infty} P \left ( \sum_{i=1}^{n+1} X_{i} =k \right ) \cdot P(X_{0}=n) \right )\stackrel{?}{=} \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \left ( \sum_{n=0}^{\infty} \left ( \sum_{i=1}^{n+1} e^{-\lambda} \cdot \frac {\lambda^k}{k!} \right ) \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac {\lambda^n}{n!} \right ) \end{eqnarray}$ . Es gilt ja im allgemeinen nicht $\begin{eqnarray} P \left ( \sum_{i=1}^{n+1} X_{i} =k \right ) = \sum_{i=1}^{n+1} e^{-\lambda} \cdot \frac {\lambda^k}{k!} \end{eqnarray}$ auch wenn die Zufallsvariablen alle Poissonverteilt und unabhängig sind oder habe ich etwas falsch verstanden ?

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