Lineare Abbildung nachweisen oder widerlegen

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bob123 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung nachweisen oder widerlegen
Hallo Community,

ich habe eine Frage zu dem oben genannten:

Ich habe folgende Abbildungen gegeben:

[attach]36329[/attach]

Ich habe folgendes dazu gemacht:

Zu Zeigen:

und


Zu a)
1. Dies klappt also.
2. Klappt auch. -> Lineare Abbildung

Zu b) Klappt also.

Für Skalar habe ich auch schon nachgewiesen, kann ich das so fort führen? Also ist das richtig? c) ist keine Lineare Abbildung, klappt schon bei der Addition nicht.
Und bei der d) habe ich keine Ahnung, muss ich da f(x+y+z) = f(x) + f(y) + f(z) nachweisen? Weil das ja R^3 ist?

Wäre über Hilfe dankbar!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung nachweisen oder widerlegen!
Zitat:
Original von bob123
1. Dies klappt also.

Formal richtig ist:

Zitat:
Original von bob123
2. Klappt auch. -> Lineare

Formal richtig ist:

Zitat:
Original von bob123
Zu b) Klappt also.

Formal fehlt am Ende noch ein Zwischenschritt.

Zitat:
Original von bob123
Und bei der d) habe ich keine Ahnung, muss ich da f(x+y+z) = f(x) + f(y) + f(z) nachweisen? Weil das ja R^3 ist?

Du mußt wie sonst auch f(a+b) = f(a) + f(b) zeigen, wobei und sind.
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank für das Formale ausbessern!
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch nochmal eine Frage hierzu:

Wie bestimme ich ob es ein Endo-, Mono-, Epi-, Iso- oder Automorphismus ist?

Beispielsweise bei x -> -3x

Ist eine Abbildung von V -> W, R->R d.h. Es kann schonmal nicht Endo- bzw. Automorphismus sein oder? x wird ja nicht auf x abgebildet, also nicht auf sich selbst. Müsste ich jetzt z.B. zeigen dass Kern von f = {0} ist, dann ist ja injektiv und damit Isomorphismus? Oder wie genau muss ich das machen?
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Push, kann jemand noch Hilfestellung geben?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel "x-->-3x" ist ganz klar eine Bijektion von R auf R.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen betrachtet man Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen. Dann gibt die Berechnung von Kern und Rang Auskunft über Injektivität und Surjektivität.
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben leider noch nichts gemacht mit Darstellungsmatrizen, geht das auch anders?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Rumprobieren geht immer, macht aber keinen Spaß, deshalb studiert man mathe, damit's leichter geht und mehr Spaß macht. Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bob123
Beispielsweise bei x -> -3x

Ist eine Abbildung von V -> W, R->R d.h. Es kann schonmal nicht Endo- bzw. Automorphismus sein oder? x wird ja nicht auf x abgebildet, also nicht auf sich selbst.

Da hast du wohl die Definitionen nicht genau verstanden. Gerade weil es eine Abbildung vom Vektorraum R auf sich selbst ist, ist es ein Endomorphismus. Und wenn die Abbildung noch bijektiv ist, ist es ein Automorphismus. smile
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mit Endomorphimus dann gemeint, dass z.B. eine Abbildung von R nach R geht? Also wieder in den selben Raum geworfen wird?

Wenn ich jetzt Abbildung von R in R² werfe, dann habe ich aufjedenfall keinen Endo bzw. Automorphismus? Oder wie ist dieses f : V -> W zu verstehen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bob123
Ist mit Endomorphimus dann gemeint, dass z.B. eine Abbildung von R nach R geht? Also wieder in den selben Raum geworfen wird?

Genau.

Zitat:
Original von bob123
Wenn ich jetzt Abbildung von R in R² werfe, dann habe ich aufjedenfall keinen Endo bzw. Automorphismus?

Richtig.

Zitat:
Original von bob123
Oder wie ist dieses f : V -> W zu verstehen

Das sagt erstmal nur, daß f eine Abbildung ist, die Elemente von V auf Elemente von W abbildet. Die Vektorräume V und W müssen natürlich näher spezifiziert werden. Ist V = W, dann ist die Abbildung (sofern sie auch linear ist) ein Endomorphismus.
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok! Und wie prüfe ich nun bijektiv nach? Kann ich dazu einfach gucken ob Kern f = {0} ist und einfache Anwendung von Definition von surjektiv? Oder wie genau prüfe ich Automorphismus nach?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bob123
Kann ich dazu einfach gucken ob Kern f = {0} ist und einfache Anwendung von Definition von surjektiv?

Das wäre eine Möglichkeit. Alternativ kannst du eine Abbildung angeben und zeigen, daß diese die inverse Abbildung ist.
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