Orthonormalbasis von R2[x]

05.12.2014, 16:38

Shinobi.Master

Orthonormalbasis von R2[x]

Hallo Mathegenies,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

"Wir betrachten den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R_2[x] \end{eqnarray*}$ der Polynome vom Grad <2 mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <\cdot ,\cdot> : \mathbb R[x] \times \mathbb R[x] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass { $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ }, mit $\begin{eqnarray*} p_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}, p_2(x) = \sqrt{\frac{3}{2}}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_3(x) = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}(x^2-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$ , eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_2[x] \end{eqnarray*}$ bildet.

b) Stellen Sie das Polynom $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q(x) = 1-2x \end{eqnarray*}$ in der Basis { $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ } dar."

Theoretisch müsste ich doch nur bei a) zeigen, dass alle p's Orthogonal und Normiert sind sowie zusammen eine Basis bilden oder?

Während ich bei b) nicht genau weiß was ich da machen soll. Also wie es am Ende auszusehen hat.

05.12.2014, 17:07

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RE: Orthonormalbasis von R2[x]
a) ja
b) schreibe q als Linearkombination der p's $\begin{eqnarray*} q=\sum a_ip_i \end{eqnarray*}$ und bestimme die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 17:53

Shinobi.Master

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b) $\begin{eqnarray*} q=\sum \limits_{i=1}^3 (1-2x_i)p_i \end{eqnarray*}$

Wäre das die korrekte Darstellung?

05.12.2014, 18:06

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Das wäre ziemlicher Unfug.
Edit: Es sei denn, du bestehst darauf, die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ in der eigenwilligen Form $\begin{eqnarray*} 1-2x_i \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

05.12.2014, 18:13

Shinobi.Master

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Wäre das denn schon der Schluss für b)? Mehr muss ich da nicht machen? Einfach nur q in einer anderen Form umschreiben?

05.12.2014, 18:15

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bis zum Schluss lesen

Zitat:

...und bestimme die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$

Um's mal ganz unmissverständlich zu sagen: Dabei müssen drei Zahlen herauskommen.

05.12.2014, 18:37

Shinobi.Master

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Mit drei Zahlen meinst du $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, a_3 \end{eqnarray*}$ und das jeder dieser Koeffizienten einen bestimmten Wert annimmt für das jeweilige p, richtig?

Also $\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt{2} - 2x\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} q(x) = 1-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1\cdot a_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2} - 2x\sqrt{2} = 1-2x = q(x) \end{eqnarray*}$

05.12.2014, 18:45

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$\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt{2} - 2x\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , muss falsch sein, denn das ist ein Polynom, keine Zahl.

05.12.2014, 21:06

Shinobi.Master

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Ich habe keine Ahnung wie man das herausfinden soll...

Denn es muss ja folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} q=\sum \limits_{i=1}^3 a_ip_i \end{eqnarray*}$ d.h.

$\begin{eqnarray*} 1 - 2x = a_1\frac{1}{\sqrt{2}} + a_2\sqrt{\frac{3}{2}}x + a_3\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}(x^2 - \frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

Wie finde ich denn so die drei unbekannten heraus?

05.12.2014, 21:21

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Koeffizientenvergleich.
Wahrscheinlich solltest du aber die Eigenschaften einer Orthonormalbasis nutzen

05.12.2014, 21:21

Shinobi.Master

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Okay ich denke ich habe eine Lösung durch probieren gefunden.

Da mich das $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ gestört hat, weil dort ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ enthalten war, hab ich $\begin{eqnarray*} a_3 = 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt. Daraus folgten für $\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} a_1p_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ist und für $\begin{eqnarray*} a_2 = -\sqrt{\frac{8}{3}} \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} a_2p_2 = -2x \end{eqnarray*}$ ist und whola...

Geschafft!

Danke!

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