Kreise und Summen |
| 05.12.2014, 17:53 | Freedom Wizard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kreise und Summen In Form eines gleichseitigen Dreiecks seien neun Kreise angeordnet. Diese sollen nun mit den Zahlen 1 bis 9 gefüllt werden und zwar so, dass die drei Fünfersummen aus den vier Zahlen einer Seite und der Zahl der gegenüberliegenden Ecke gleich sind. Wie viele Lösungen gibt es, wobei alle dreh- bzw. spiegelsymmetrischen Lösungen als unterschiedlich gelten? Ich habe mir mal überlegt, dass ja gilt: 9+1 = 10 8+2 = 10 7+3 = 10 Wenn ich also die beiden mittleren Kreise jeder Seite mit den Zahlenpaaren (1, 9), (2,8) und (3, 7) fülle, dann ist jede Fünfersumme zunächst einmal gleich. Egal, wie ich die letzten Zahlen 4,5,6 in die Ecken schreibe, es stimmt immer. Weil in jeder Fünfersumme 4+5+6 dazukommt. Einer der obigen Zahlenpaar kann ich nun auch durch (4,6) ersetzen und das Resultat ist immer noch gültig. Frage Nummer Eins: Wie viele Möglichkeiten dieser Art gibt es nun? Wie kann man dies berechnen? Frage Nummer Zwei: Gibt es noch andere Arten? Wenn nein, warum nicht? Danke! |
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| 05.12.2014, 18:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anders formuliert: Wir haben die vier Paare 9+1 = 10 8+2 = 10 7+3 = 10 6+4 = 10 Drei der vier Paare werden auf die 3 Kantenmitten platziert, die beiden Werte aus dem Restpaar sowie die 5 in die drei Ecken. Das ergibt Anzahl für die Auswahl der drei Paare, Faktor 3!=6 für die Platzierung der drei Paare auf die Kanten für die Vertauschungsmöglichkeiten innerhalb der Kante, und schlussendlich 3!=6 für die Permutation der drei Ecken. Alles miteinander multipliziert landen wir bei . Das sind aber erstmal nur die mit Summe 10 auf den Kantenmitten. Mit 1+6 = 7 2+5 = 7 3+4 = 7 sieht man, dass ja auch anderes möglich ist... |
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| 06.12.2014, 00:52 | Freedom Wizard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super! Also es gibt dann noch die Möglichkeiten für 9 mit den Paaren (1,8), (2,7), (3,6) und (4,5) Das ist dieselbe Rechnung wie vorhin, also 1152 Möglichkeiten. Dann gibt es die Möglichkeit für 8 mit den Paaren (1,7), (2,6) und (3,5). Da sind es dann 1152/4 = 288 Möglichkeiten. Und dann für 7 durch (1,6), (2,5) und (3,4). Also wieder 288 Möglichkeiten. Also alles zusammen bekommt man durch dieses Verfahren 2*1152 + 2*288 = 2880 Möglichkeiten. Bleibt noch zu klären, ob es andere Verfahren gibt bzw. wenn nicht, warum kann es diese nicht geben. Meine Begründung: In allen drei Fünfersummen sind die Eckpunkte des "Dreiecks" enthalten, d.h. die Fünfersummen sind zunächst einmal gleich. Damit sie auch weiter gleich bleiben, muss auch die Summe der Werte der beiden inneren Kreise auf der Kantenmitte von jeder Seite gleich sein. Das geht aber nur für die oben beschriebenen Möglichkeiten. |
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| 06.12.2014, 00:57 | Freedom Wizard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na gut, es kommt noch was dazu. Nämlich gibt es für 11 auch noch vier Paare (1152 Möglichkeiten) und für 12 gibt es drei Paare (288 Möglichkeiten) und für 13 gibt es drei Paare (288 Möglichkeiten). |
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| 06.12.2014, 08:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es: Für die Mittenkantensummen 7,8,12,13 gibt es jeweils 288, und für 9,10,11 jeweils 1152 Möglichkeiten. |
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| 06.12.2014, 12:02 | Freedom Wizard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super! Danke für deine Hilfe! |
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