Konjugation von Untergruppen |
| 06.12.2014, 00:09 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Konjugation von Untergruppen Ich kenne die Konjugation bezüglich der Elemente einer Gruppe: Sei (G,*) eine Gruppe mit x,g element G, dann ist g*x*g^-1 Die Konjugationsklasse bezüglich x. Seien U1 und U2 Untergruppen von G, ist dann U1 zu U2 konjugiert falls: gU1g^-1 = U2 ? |
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| 06.12.2014, 07:38 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau so ist es. Notwendig dafür ist natürlich, dass die Untergruppen die selbe Mächtigkeit (und den selben Index) haben. |
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| 06.12.2014, 11:26 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke für die Antwort. Das muss dann aber schon für alle g in G gelten oder? Ich schaue mir gerade eine Aufgabe an und da scheint das nicht so recht zu funktionieren: Gegeben ist die allgemeine lineare Gruppe G=GLn mit den Untergruppen U:Untere Dreiecksmatrizen und O:Obere Dreiecksmatrizen. Nun soll man zeigen, dass O und U zueinander konjugiert sind. Also ich muss ja zeigen, dass für alle invertierbaren Matrizen aus G gilt g*O*g^-1 = U bzw. g*U*g^-1 = O ? Ich habe versucht irgendeine 3x3 Matrix aus O mit einer allgemeinen 3x3 Matrix aus G zu konjugieren. Also g*O*g^-1 gerechnet und erwartet, dass dabei eine untere Dreiecksmatrix rauskommt. Das hat aber bei meinem Beispiel nicht geklappt ich habe immer eine volle 3x3 Matrix als Lösung bekommen. So siehts aus: [attach]36344[/attach] |
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| 06.12.2014, 11:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Warum sollte das für alle gelten? Wenn das für alle gilt, dann ist ein Normalteiler. Bei deiner Aufgabe ist nur eine einzige invertierbare Matrix zu finden, die leistet. wäre ein guter Kandidat im 3x3-Fall. Ich denke es ist klar, wie man das verallgemeinert. |
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