Prüfungsaufgabe-Geometrie |
| 06.12.2014, 14:08 | paul95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Prüfungsaufgabe-Geometrie Hallo! Ich habe schwerste Probleme mit einer Abiturprüfungsaufgabe aus dem jahr 2013 eines Beruflichen Gymnasiums des Matheleistungskurses.. Wahlaufgabe 3 Eine Hang im Erzgebirgsvorland kann im kartesischen Koordinatensystem durch eine Ebene E mit der Gleichung x+y+5z=18 beschrieben werden. Im Punkt P(2,1,3) soll der 40 m hohe Turm einer Windkraftanlage senkrecht zur xa-Ebene errichtet werden (1LE=1m). 3.1 Berechnen Sie den Winkel Alpha, den der Turm der Windkraftanlage mit dem Hang einschließt. 3.2 Beim Aufbau des Turms soll dieser auf halber Turmhöhe mit einem möglichst kurzem stahlseil am Hang verankert werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes L auf dem Hang und geben Sie die Mindestlänge des benötigten Stahlseils an. Meine Ideen: 3.1 -> kein Problem, hat geklappt 3.2 Hier habe ich nicht mal ansatzweise einen Ansatz? was bedeutet, das Stahlseil soll möglichst kurz sein? Also wie kann ich diese Bedingung berechnen bzw. wie lautet für diese der Ansatz? Ist das eine Schnittpunktproblematik? zwischen einer Geraden, die die Gerade des Windkraftanlage und die Ebene des Hanges Schneidet? ich dachte mir, dass ich den Punkt, an dem dieses stahlseil an der Windanlage befestigt werden soll, mit der Formel d=|(x02-x01)"Skalarprodukt"Einheitsvektor von der Hang-Ebene"| ? d wäre 20LE x01 habe ich durch Variablen ausgedrück, den will ich ja berechnen, x02 weiß ich nicht, die ebenengleichung ist ja in der Parameter freien Form, und der normalenvektor lässt sich ja ablesen, und somit der einheitsvektor leicht berechnen.. aber.. ähm.. ahnung habe ich trotzdem keine.. meine Ideen klingen auch, find ich, ziemlich stark spekuliert Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen kann 
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| 06.12.2014, 14:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, genau das ist die Preisfrage. Zunächst aber mal noch eine andere Frage vorweg: Wie lautet denn der Verankerungspunkt am Turm (nennen wir ihn mal T), von welchem aus das Seil dann zum Hang gehen soll, ist dir das klar ? Wenn ja, dann kannst du dir anhand einer Skizze ja mal klar machen, dass es von T aus ja unendlich viele, mögliche Verbindungen zur Hangebene gibt, aber nur EINE davon ist die kürzeste. Naja in welchem Winkel könnte diese Verbindungslinie (Lot) denn zur Hangebene liegen, damit wirklich die kürzeste Entfernung zwischen Punkt und Ebene beschrieben wird ? |
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| 06.12.2014, 15:07 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, dass ist sie..naja, so wirklich sicher bin ich mir da nicht... die gerade g, auf der das wind-ding steht lautet ja dann dachte ich, ich berechne T mit da kommt aber raus x=-y-5z+60* was ich komisch finde..
sollte das aber richtig sein, könnte ich mir vorstellen, dass ich das in g einsetzten muss, irgend wie, um ein kongretes ergebnis zu bekommen..
aber...naja, Lot ist ja eine Linie, die senkrecht nach untenen fällt, also ortogonal zur xy-ebene ist..? also vielleicht in dem berechneten winkel alpha?? |
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| 06.12.2014, 15:17 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du versuchst immer irgendwas mit der HNF bzw Formel für Abstand Punkte-Ebene, oder ? Den Punkt T brauchst du gar nicht berechnen. Er liegt genau 20 Einheiten über P(2|3|1) und damit ändert sich nur welche Koordinate ?
Senkrecht ja (das brauchst du hier auch unbedingt), nach unten nein, zumindest nicht hier bzw im Allgemeinen. Das Lot trifft senkrecht auf die Hangebene, die ja durchaus geneigt ist (z.B. im Gegensatz zur xy-Ebene). Die Preisfrage ist nun also, wie bekommt man eine Gerade hin, die durch T verläuft und die Hangebene senkrecht schneidet ? Welcher Vektor liegt denn immer senkrecht zu einer Ebene ? |
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| 06.12.2014, 15:56 | paul052 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die z koordinate? da es ja im rechten winkel zur xy-ebene auf der steht? P(2,1,23)? normalenvektoren? also nehme ich für die gerade den normalen vektor n(1;1;5) als richtungsvektor? und als ortsvektor den Punkt T? |
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| 06.12.2014, 16:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit kann ich jetzt nichts anfangen (ich hatte oben einen Zahlendreher beim Punkt P). Wie lautet T also ? Der Rest stimmt, was du geschrieben hast. |
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| 06.12.2014, 16:11 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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naja ich dachte, wenn ich 20 LE höher muss.. kommenja auf eine Koordinate des Vektors 20 LE drauf.. der punkt P lautet P(2;1;3) da er ja orthogonal zur xy achse steht, ist die z Koordinate "zuständig für die Höhe".. also 3+20 also wäre T(2,1,23) ach so..
ich schrieb P(2,1,23)... |
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| 06.12.2014, 16:13 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar. 
Weißt du dann, wie es weiter geht ? |
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| 06.12.2014, 16:17 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hoffe, für den Punkt L muss ich einfach dann mit t(=gerade durch T und E) in der Parameterfreien form und E ein Gleichungssystem aufstellen? |
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| 06.12.2014, 16:19 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde die Gerade direkt in die Koordinatenform E: x+y+5z=18 der Hangebene einsetzen. Weißt du wie das geht ? |
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| 06.12.2014, 16:24 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ach so, ja stimmt
ja,weiß ich.. denke ich.. (2+1t)+(1+1t)+5(23+5t)=18? |
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| 06.12.2014, 16:25 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 06.12.2014, 16:27 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
phu
schwere geburtaber keine vorfreude.. es gibt noch eine3.3 aber jetzt, wo ich weiß, wie ich auf die blöden Punkte, welche auf dem Wind-ding liegen, komme, könnte es sein, dass ichs schaffe
.. damit hatt ich mich echt schwer getan |
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| 06.12.2014, 16:35 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber danke auf alle fäll! diese auffrischung hatte ich echt nötig (-> behandeln derzeitig in der Schule das große Thema des Flächenproblems also stammfunktionen,integralfunktionen ect. |
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| 06.12.2014, 16:51 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann machst die Aufgabe einfach mal so für dich selbst zur Auffrischung ? Von Integralrechnung ist das ja meilenweit entfernt. 
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| 06.12.2014, 17:04 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
3.3 Nach der Montage der Rotorblätter befinden sich deren Spitzen in den Punkten A(20;-10;30,75), B(5;5;67,50) und C(-10,20;30,75) Weisen Sie nach, dass die Rotorblätter eine Länge von ca. 24,50 m haben. -> okay, hab ich wieder ein Punkt aufgestellt, und dann einfach den Betrag der augestellten vektoren, zwischen den gegebenen Punkten und meinem aufgestellten Punkt berechnet ABER... ..Beim Betrieb der Anlage erreicht die Rotorspitze B nach jeweils 3 Sekunden wieder ihre Ausgangstellung. Die Funktion h mit y=h(t)=a.cos(b*t)+c (a,b,c element R;a<0,b<0,c<0) gibt die Höhe der Rotorspitze B über der xy-Eene in Abhängigkeit der Zeit t an. Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion h. 1. Fragewas ist a,b,c? 2. Frage, was muss ich machen? ich soll sicher die variablen aus der vorgegebenen funktionsschar(?) bekommen? Würde es sich anbieten davon auszugehen, dass das Rotorblatt Orthogonal zu xy-Ebene steht? aber.. ne, ich versteh nicht, was a,b,c bedeutet, bzw. vielmehr was b bedeutet, c und a kenn ich von der allgemeinen schreibweise höherer funktionen f(x)=a3+x^3...+c |
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| 06.12.2014, 17:05 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eher zur Prüfungsvorbereitung.. |
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| 06.12.2014, 17:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was bedeutet das ? Entscheidend ist ja, wo die Blätter entspringen sollen. Der Rest ist dann die entsprechende Länge (Betrag) eines Vektors, das stimmt.
a,b und c sollen wirklich alle negativ sein ? Die Bedeutung von a, b und c ist zunächst mal nicht so wichtig (naja bis auf b vielleicht). Entscheidend ist, dass du mit den gegebenen Infos jetzt 3 Gleichungen aufstellst. Ich bin jetzt erst mal ein paar Stunden weg, melde mich später wieder. Ein anderer kann auch gerne übernehmen, wenn er/sie mag. 
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| 06.12.2014, 17:41 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ach so, stimmt, hab die skizze nicht hochgestellt.. auf der ist die windkraftanlage eingezeichnet und der Hang, und zu sehen, dass der Punkt an dem alle drei rotorblätter befestigt sind, 40 LE hoch ist, also habe ich das wie bei 3.2 gemacht und den Punkt R(2,1,43) aufgestellt nene hab mich offensichtlich verschrieben, sollen alle positiv sein also a>0 usw ja, das habe ich mir gedacht, dass das die aufgabe ist...-.-
ja, vielen dank!
ich probiere noch etwas rum |
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| 06.12.2014, 19:46 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, schon was hinbekommen ?
In dieser Formulierung schwingt ja was in Richtung Periode mit, dafür kennst du bestimmt eine Formel (Zusammenhang mit b). Zudem könnte man die Anfangshöhe bei Punkt B ablesen und damit schon mal eine Gleichung aufstellen. Die 3. Information ist vielleicht noch an der Skizze erkennbar. Je nachdem wie die Blätter am Anfang stehen, könnte man evtl noch etwas über die Amplitude a aussagen. |
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| 07.12.2014, 15:26 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn das Blatt in 3 sekunden ein mal komplett rum ist, bedeutet das, dass da eine komplette periode abgeschlossen ist? die Periode von cos(x) ist ja 2 pi die Formel für die periode lautet also muss b = 3 sein? Also soll ich den Punkt B(5;5;67,50) in h(t) einsetzen? ich hab keine ahnung... Trigonometrische Funktionen sind schon ne weile her.. und dieses Funktion-bauen habe ich mit denen noch nie gesehen
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| 07.12.2014, 16:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht b=3 sondern die Periode x ist 3 und dementsprechend ist b dann 2pi/3.
Nicht den kompletten Punkt, sondern nur die entsprechende Höhe.
Und wie gesagt, je nachdem zwischen welchen Höhen die Spitze des Rotorblattes B pendelt (das kann ich ohne die Skizze nicht sagen), ergibt sich auch die Amplitude a. |
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| 07.12.2014, 17:04 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn jedes rotorblatt ca. 24,5 m lang sein soll ist ja der hochpunkt = 24,5 und der tiefpunkt = -24,5? also ist in dem Punkt, in dem die Blätter befestigt wurden, so zu sagen die x-achse? und dann wäre a = 24,5? und h(t) =24,5*cos(2pi/3*t)+67,50? |
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| 07.12.2014, 17:51 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a und b stimmen, bei c hast du aber einfach nur die Anfangshöhe von B eingesetzt. Du musst aber h(0)=67,5 benutzen und die dadurch entstehende Gleichung nach c auflösen. |
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| 07.12.2014, 19:37 | paul952 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm..
ja, eigentlich klar...okay, vielen dank! das hat mir wirklich wirklich geholfen! Viele Sachen mussten wieder aufgefrischt werden und manches, wie die letzte Aufgabe, kannt ich gar nicht... (-> also "was was bei der cosinusfunktion macht..." |
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| 07.12.2014, 19:51 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das war eigentlich eine ganz hübsche Aufgabe, die auch mal verschiedene Bereiche miteinander sinnvoll verknüpft.
Würd ich gerne auch mal in NRW-Abiklausuren sehen, aber das ist den Aufgabenstellern wohl zu schwer für die armen Schüler.
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