Herleitung

07.12.2014, 10:20

actany

Herleitung

Meine Frage:
Leite mit Hilfe der Integralrechnung die Formel her für die Rauminhaltsberechnung bei einem Kegelstumpf. (Siehe für die Formel Bildanhang!)

Meine Ideen:
Wenn ich es zeichne, dann habe ich eine Funktion von f(x) = m*x + c . (Siehe für die Zeichnung Bildanhang!) Doch jetzt komme ich nicht mehr weiter. Wie kann ich die "Buchstaben" der Formel in die Funktion f(x) packen? Was ist was?

07.12.2014, 11:33

sixty-four

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RE: Herleitung
Du musst versuchen, die Radien der Grund- und Deckfläche in die Berechnung einzubeziehen. Wenn du den Radius der Grundfläche mit $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und den der Deckfläche mit $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ bezeichnest, wie kannst du dann das m und das c in $\begin{eqnarray*} f(x)=mx+c \end{eqnarray*}$ ausdrücken?

Wenn du das hast, musst du das Integral

$\begin{eqnarray*} \pi \int_0^h [f(x)]^2 dx \end{eqnarray*}$

ausrechnen. Das ist die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers.

07.12.2014, 12:02

actany

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RE: Herleitung
deckfläche r2 ist das kleinere
grundfläche r1 ist das große

(siehe Bildanhang)

m = y2 - y1 / x2 - x1

m= r1 - r2 / h - 0

m= r1 - r2 / h

c = r2

also

f(x) = r1 - r2 / h * r2 (siehe Bildanhang)

07.12.2014, 12:07

sixty-four

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RE: Herleitung

Zitat:

Original von actany
deckfläche r2 ist das kleinere
grundfläche r1 ist das große

f(x) = r1 - r2 / h * r2 (siehe Bildanhang)

Deine Berechnung stimmt, aber hier hast du nicht richtig eingesetzt. Egal, deine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{r_1-r_2}{h}x+r_2 <br /> \end{eqnarray*}$
die du unten angegeben hast, ist richtig.

Jetzt musst du das Integral ausrechnen.

07.12.2014, 12:23

actany

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RE: Herleitung
ist das bis hier hin richtig?

07.12.2014, 12:39

sixty-four

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RE: Herleitung

Zitat:

Original von actany
ist das bis hier hin richtig?

Nein. Im Zähler hast du ein Binom. Wenn du das quadrierst, kommt nicht das raus, was du ausgerechnet hast. Die ganze Funktion ist auch ein Binom. Vielleicht macht es jetzt klick?

07.12.2014, 12:55

actany

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RE: Herleitung
so multiplizieren?

07.12.2014, 13:08

sixty-four

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RE: Herleitung
Na ja, um Binome zu quadrieren gibt es ja eine bestimmte Formel.

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2= \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2= \end{eqnarray*}$

Fällt dir dazu nichts ein?

07.12.2014, 13:14

Bjoern1982

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Kurzer Einschub:

Wenn MUSS die Klammer nicht zwingend auflösen (das führt später evtl zu sehr viel Rumrechnerei) und kann auch DIREKT eine Stammfunktion bilden.

Und damit bin ich wieder weg. Wink

07.12.2014, 13:15

actany

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RE: Herleitung
a ist bei mir r1 - r2 / h * x
b ist bei mir + r2

dann muss ich einfach nur einsetzen!

Formel mit eingesetzten Werte kommt gleich...

07.12.2014, 13:24

sixty-four

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RE: Herleitung

Zitat:

Original von actany
a ist bei mir r1 - r2 / h * x
b ist bei mir + r2

Nicht ganz getroffen, sondern so:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{r_1-r_2}{h}x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b=r_2 \end{eqnarray*}$

In deiner Schreibweise müsstest du $\begin{eqnarray*} r_1-r_2 \end{eqnarray*}$ einklammern. Ansonsten dividierst du nur $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ durch h. Es muss aber die Differenz $\begin{eqnarray*} r_1-r_2 \end{eqnarray*}$ dividiert werden.

07.12.2014, 14:00

actany

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RE: Herleitung
Formel:

$\begin{eqnarray*} \left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{r_{1}-r_{2}}{h}*x + r_{2}\right)^2 = (\frac{r_{1}-r_{2}}{h}*x)^2 + 2*\frac{r_{1}-r_{2}}{h}*x * r_{2} + (r_{2})^2 \end{eqnarray*}$

Vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{r_{1}^2-r_{2}^2}{h^2}*x^2 + [ 2*\frac{r_{1}-r_{2}}{h}*x * r_{2} ] + r_{2}^2 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich den Term in der eckigen Klammer vereinfachen? (Notiz: Eckige Klammer ist in der Formel nicht drinne, ist hier nur drinne um zu veranschaulichen was ich meine.)

07.12.2014, 14:10

sixty-four

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RE: Herleitung
Deine Vereinfachung stimmt schon nicht. Im Zähler hast du wiederum ein Binom. Du musst also $\begin{eqnarray*} (r_1-r_2)^2 \end{eqnarray*}$ bilden. Das ergibt nach der 2. binomischen Formel:

$\begin{eqnarray*} r_1^2-2r_1r_2+r_2^2 \end{eqnarray*}$

Die eckige Klammer kannst du vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{2r_1r_2-2r_2^2}{h}x \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 14:22

actany

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RE: Herleitung
Wie kommt du von

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{r_{1}-r_{2}}{h}*x * r_{2} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \frac{2*r_1*r_2-2r_2^2}{h}*x \end{eqnarray*}$

?

Ich habe es so verstanden:
du hast die 2 nach oben zum Zähler gepackt. dasselbe hast du auch mit $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ gemacht. doch wie kommst du von $\begin{eqnarray*} -r_{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -2r_2^2 \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 14:36

sixty-four

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RE: Herleitung
Distributivgesetz:

$\begin{eqnarray*} (a-b)c=ac-bc \end{eqnarray*}$

angewendet auf deinen Fall:

$\begin{eqnarray*} (r_1-r_2)\cdot 2r_2 = 2r_1r_2 - 2r_2^2 \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 15:01

actany

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RE: Herleitung
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{r_{1}-r_{2}}{h}*x + r_{2}\right)^2 = \frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*x^2 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}*x + r_{2}^2 \end{eqnarray*}$

also muss ich nun das hier in Integral reinlegen:

= $\begin{eqnarray*} \pi * \int_h^0 \! (\frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*x^2 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}*x + r_{2}^2) \, dx \end{eqnarray*}$

danach muss ich es Aufleiten:

$\begin{eqnarray*} \pi * \left[\frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*\frac{1}{3} * x^3 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}* \frac{1}{2}*x^2 + r_{2}^2 * x)\right]_{0}^{h} \end{eqnarray*}$

danach die Grenzen einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \pi * \left(\left(\frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*\frac{1}{3} * h^3 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}* \frac{1}{2}*h^2 + r_{2}^2 * h\right) - \left(\frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*\frac{1}{3} * 0^3 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}* \frac{1}{2}*0^2 + r_{2}^2 * 0\right)\right) \end{eqnarray*}$

danach ausrechenn:

$\begin{eqnarray*} \pi * \left(\frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*\frac{1}{3} * h^3 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}* \frac{1}{2}*h^2 + r_{2}^2 * h - 0\right) \end{eqnarray*}$

0 fällt weg:

$\begin{eqnarray*} \pi * \left(\frac{r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2}{h^2}*\frac{1}{3} * h^3 + \frac{2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2}{h}* \frac{1}{2}*h^2 + r_{2}^2 * h\right) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich kürzen?

07.12.2014, 15:13

sixty-four

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RE: Herleitung

Zitat:

Original von actany

Wie kann ich kürzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{h^3}{h^2}=h \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{h^2}{h}=h \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 15:52

actany

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RE: Herleitung
stimmt! Danke.

$\begin{eqnarray*} \pi * \left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2*\frac{1}{3} * h /// + 2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2* \frac{1}{2}*h /// + r_{2}^2 * h\right) \end{eqnarray*}$ (Notiz: /// ist nur für mich, damit ich die drei bereiche trenne.)

Ergebnis soll sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \pi * h * (r_{1}^2 + r_{2}^2 + r_{1} * r_{2}) \end{eqnarray*}$

Deshalb klammere ich h von $\begin{eqnarray*} \pi * \left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2*\frac{1}{3} * h /// + 2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2* \frac{1}{2}*h /// + r_{2}^2 * h\right) \end{eqnarray*}$ aus

kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2*\frac{1}{3} /// + 2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2* \frac{1}{2} /// + r_{2}^2\right) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich weiter machen?

07.12.2014, 16:33

sixty-four

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RE: Herleitung
Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ bezieht sich doch auf den ganzen ersten Bruch. Entsprechendes gilt für den zweiten mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ . Folglich musst du die Summen, die jeweils im Zähler stehen klammern. Dann kannst du im zweiten Bruch noch mit 2 kürzen.

Also

$\begin{eqnarray*} \pi h [\frac13 (r_1^2-2r_1r_2+r_2^2) + r_1r_2-r_2^2 + r_2^2] \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt noch etwas vereinfachen und dann musst du berücksichtigen, dass

$\begin{eqnarray*} r_1r_2 = \frac{3r_1r_2}{3} \end{eqnarray*}$

ist. Dann bist du fertig.

07.12.2014, 18:12

actany

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RE: Herleitung
$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2*\frac{1}{3} /// + 2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2* \frac{1}{2} /// + r_{2}^2\right) \end{eqnarray*}$

mit ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3} * \left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) + \frac{1}{2} * \left( 2*r_{1}*r_{2}-2*r_{2}^2\right) + r_{2}^2\right) \end{eqnarray*}$

dann kürze ich die 2 beim zweiten Bereich:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3} * \left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) + \frac{1}{2} * \left( r_{1}*r_{2}-r_{2}^2\right) + r_{2}^2\right) \end{eqnarray*}$

doch bei dir ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auch weggekürzt. Warum bzw. wie?

07.12.2014, 20:25

sixty-four

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RE: Herleitung

Zitat:

Original von actany

doch bei dir ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auch weggekürzt. Warum bzw. wie?

Das ist doch gerade der Vorgang des Kürzens, dass du den Zähler und den Nenner durch 2 dividierst.

$\begin{eqnarray*} \frac12 (2r_1r_2 -2r_2^2)= \frac22 (r_1r_2 -r_2^2) = r_1r_2 -r_2^2 \end{eqnarray*}$

Du hast so "gekürzt" :

$\begin{eqnarray*} \frac{2a-2b}{2} = \frac{a-b}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist kein kürzen, sondern falsches rechnen.

11.12.2014, 13:24

actany

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RE: Herleitung
$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) + r_{1}*r_{2}-r_{2}^2 + r_{2}^2\right) \end{eqnarray*}$

Ich bin nun hier!

Dann kann ich nun die letzten zwei $\begin{eqnarray*} r_{2}^2 \end{eqnarray*}$ wegmachen:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) + r_{1}*r_{2}\right) \end{eqnarray*}$

Dann meintest du:

$\begin{eqnarray*} r_{1}r_{2} = \frac{3}{3}*r_{1}r_{2} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) +\frac{3}{3}*r_{1}r_{2}\right) \end{eqnarray*}$

danach ausklammern

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) +\frac{3}{3}*(r_{1}r_{2})\right) \end{eqnarray*}$

danach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2 +\frac{2}{3}*\left(r_{1}r_{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt weiter kürzen??

11.12.2014, 14:21

sixty-four

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RE: Herleitung

Zitat:

Original von actany

danach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2 +\frac{2}{3}*\left(r_{1}r_{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt weiter kürzen??

Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ausklammerst, sieht es aber so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi h (r_{1}^2-2r_{1}r_{2}+r_{2}^2 +3r_{1}r_{2} ) \end{eqnarray*}$

Es fehlt bei dir ja auch noch eine schliessende Klammer hinter $\begin{eqnarray*} r_2^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf die 2 im Zähler?

11.12.2014, 14:25

actany

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RE: Herleitung
upps okay. danke.

mit der Klammer verstehe ich aber nicht? ist doch alles so richtig gesetzt

11.12.2014, 14:36

sixty-four

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RE: Herleitung
Bevor du $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert hast, waren die Klammern noch korrekt:

$\begin{eqnarray*} \pi * h * \left(\frac{1}{3}*\left(r_{1}^2-2*r_{1}*r_{2}+r_{2}^2\right) +\frac{3}{3}*(r_{1}r_{2})\right) \end{eqnarray*}$

Dort hast du einen Ausdruck der Form:

$\begin{eqnarray*} \pi h ( \frac13 a + \frac33 b)<br /> \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a=r_1^2-2r_1r_2 +r_2^2 \qquad und \qquad b=r_1r_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, hast du:

$\begin{eqnarray*} \frac13 \pi h (a + 3b) \end{eqnarray*}$

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