Stabile Verteilung 3x3 Matrix

07.12.2014, 12:13

Kiwi50

Stabile Verteilung 3x3 Matrix

Meine Frage:
Hallo,

ich schreibe Dienstag eine Klausur über Matrizen und habe nun ein Problem die stabile Verteilung bei 3x3 Matrizen zu berechnen. Laut der Aufgabe soll man die stabile Verteilung der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,2 & 0,2 & 0,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:
Ich habe nun bereits ein LSG aufgestellt mit
0,6x + 0,1y + 0,1z = x
0,2x + 0,7y + 0,1z = y
0,2x + 0,2y + 0,8z = z
ich habe dann noch - x, y und z gerechnet und das mit dem Rref Befehl auf dem Taschenrechner gelöst, raus kam dann :
x- $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ = 0
y- $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ = 0
0 = 0
aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter, wäre sehr dankbar für Hilfe!

07.12.2014, 12:30

Bjoern1982

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Zitat:

ich habe dann noch - x, y und z gerechnet und das mit dem Rref Befehl auf dem Taschenrechner gelöst, raus kam dann :
x- $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ = 0
y- $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ = 0
0 = 0

So wie es da steht, kannst du ja nach x bzw y auflösen und z wäre dann beliebig.

Ich glaube aber, dass eher $\begin{eqnarray*} x-\frac{2}{5}z=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} y-\frac{3}{5}z=0 \end{eqnarray*}$ gemeint ist, was du auch nach x bzw y umstellen kannst und damit in Abhängigkeit von z deine unendlich vielen, möglichen, stabilen Verteilungen hast.
Falls noch irgendeine Zusatzbedingung (gerne genommen ist ja sowas wie x+y+z=1) vorliegt, entsteht damit dann genau eine Lösung.

07.12.2014, 12:35

Kiwi50

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ohja, das z habe ich wohl beim eintippen eben vergessen. Ja genau so sollte das aussehen, kannst du vielleicht einmal schreiben wie das dann aussieht? Im Prinzip weiß ich wie das geht, aber ich steh hier gerade auf dem Schlauch verwirrt

.

also ich hab jetzt:

x= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ z
y= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ z

und was mach ich dann?

07.12.2014, 12:41

Bjoern1982

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Naja im Endeffekt hast du umgestellt dann (ich setze mal z=t) :

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{5} \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{5} \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z= 1 \cdot t \end{eqnarray*}$

In Vektorschreibweise $\begin{eqnarray*} \vec{x}=t \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder etwas schöner den Vektor mit 5 multiplizert $\begin{eqnarray*} \vec{x}=t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 12:46

Kiwi50

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Laut meinem Lösungsbuch müsste das Ergebnis aber $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

07.12.2014, 12:55

Bjoern1982

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Willst du mir damit jetzt sagen, dass weil dein Lösungsbuch etwas anderes sagt, habe ich es falsch gemacht ?

Wie man auf genau eine der potenziell unendlich vielen Lösungen (stabilen Verteilungen) kommt, hatte ich zudem bereits erwähnt. Wink

07.12.2014, 12:57

Kiwi50

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Du sagtest ja, dass wenn x+y+z=1 vorgegeben ist nur ein Ergebnis rauskommen kann und da wir jetzt 2 verschiedene haben, muss es doch eigentlich falsch sein oder nicht? Oder hab ich da was falsch verstanden ?

07.12.2014, 13:19

Bjoern1982

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Zitat:

Du sagtest ja, dass wenn x+y+z=1 vorgegeben ist

Und, ist das so ? Dazu hast du bisher noch nichts erwähnt, das war nur eine Vermutung/Ergänzung meinerseits.

WENN dem so ist, kommt in der Tat die Lösung aus deinem Lösungsbuch heraus.

Zitat:

muss es doch eigentlich falsch sein oder nicht?

Naja gut, das musst du dann für dich selbst entscheiden, ob ich dich hier an der Nase herumführe und dir etwas Falsches sage oder nicht. verwirrt

Damit ist dann eigentlich alles gesagt.
Viel Erfolg weiterhin, einen schönen 2. Advent noch und achja, willkommen im Matheboard übrigens.

07.12.2014, 13:55

Kiwi50

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Ja doch ich hatte gesagt, dass das so sein sollte in meiner Aufgabe aber ist auch egal, ich weiß jetzt trotzdem nicht wie mir das weiter hilft Big Laugh

also wo muss ich da jetzt was einsetzen damit das Ergebnis raus kommt?
Wollte nicht sagen, dass du mich an der Nase rum führst, dachte nur das es das falsche Ergebnis wäre

Danke, wünsch ich dir auch smile

07.12.2014, 16:31

Bjoern1982

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Zitat:

Du sagtest ja, dass wenn x+y+z=1 vorgegeben is

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{5} \cdot t \\ y=\frac{3}{5} \cdot t \\ z=1 \cdot t \end{eqnarray*}$

Die Terme für x,y und z in die obige Gleichung einsetzen und nach t auflösen.

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