Schnittgerade zweier Ebenen

07.12.2014, 16:09

moclus

Schnittgerade zweier Ebenen

Guten Tag,

dies ist der letzte Teil einer längeren Aufgabe. Ich habe nun zwei Ebenen:
$\begin{eqnarray*} E_1 : 3x_1 + 4x_3 = 50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2 : 4x_1 - 5x_2 - 3x_3 = -25 \end{eqnarray*}$

Und eine Geradenschar:

$\begin{eqnarray*} g_a : \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4a \\ 1 \\ 3a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Schnittgerade der beiden Ebenen gehört zur Schar der oben genannten Geraden. Ich soll nun den zugehörigen Wert a ermitteln. Mein Ansatz war es erstmal ein Gleichungssystem mit den beiden Ebenen aufzustellen, und x3 beliebig festzulegen (2 Gleichungen - 3 Unbekannte).

x3 sei k

Das Ergebnis ist:
$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{55}{3} - \frac{5}{7}k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{50}{3} - \frac{4}{3}k \end{eqnarray*}$

Nun fehlt mir ein Ansatz, mit dem ich a bestimmen kann. Muss ich etwa die jeweiligen Komponenten vergleichen? verwirrt

07.12.2014, 16:23

riwe

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
warum setzt du die beiden Geradengleichungen nicht gleich verwirrt

07.12.2014, 16:36

mYthos

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Bei x2 scheint ein Rechenfehler vorzuliegen.
Und ja, ein Koeffizientenvergleich ist möglich, wenn der Richtungsvektor so multipliziert wird, dass x2 = 1 ist (die Koeffizienten bei k sind bereits die Komponenten des Richtungsvektors ...)

mY+

07.12.2014, 16:48

moclus

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Den Fehler hab ich nun behoben, danke für den Hinweis. Ich hab jetzt die Gerade ermittelt und setze sie gleich der Schar.
Soll ich dadurch nun a ermitteln?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{50}{3} \\ \frac{55}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ -\frac{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4a \\ 1 \\ 3a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.12.2014, 17:28

riwe

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ja, aber zuerst solltest du ein lambda wieder mit k benennen, sonst fällst du auf den Bauch oder sonst wohin Augenzwinkern

07.12.2014, 18:08

moclus

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Lambda muss aber irgendwie verschwinden oder nicht? Ich muss ja a rausbekommen

07.12.2014, 18:29

riwe

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Zitat:

Original von moclus
Lambda muss aber irgendwie verschwinden oder nicht? Ich muss ja a rausbekommen

ja eh klar, aber so - Detail:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3}\lambda=-4a\cdot k \end{eqnarray*}$

usw.

07.12.2014, 19:10

moclus

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Ich versteh überhaupt nichts mehr ... wo ist denn jetzt der andere Vektor hin? Brauch man den für den Vergleich nicht? Und k könnte ich doch einfach mit irgendeiner Zahl ersetzen z.B. 1. Außerdem versteh ich nicht, wie die Schnittgerade zur Schar g_a gehören kann. Für die zweite Komponente hab ich -5/3 ermittelt, dort steht eine 1 ohne Parameter a. unglücklich

Edit: Jetzt versteh ich das, es handelt sich um einen Koeffizientenvergleich. So bekomm ich für a 1/3 raus. Aber was ist mit der zweiten Komponente? Wie die Schnittgerade zur Schar gehören kann, versteh ich immer noch nicht

08.12.2014, 01:45

mYthos

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Mache es doch einfacher:
Der Punkt (6; 5; 8) der Geraden liegt in beiden Ebenen, wie durch Einsetzen zu überprüfen ist.
Also muss nur noch der Richtungsvektor der Geraden an den Richtungsvektor der Schnittgeraden (der beiden Ebenen) angepasst werden und zwar so, dass die mittlere Komponente 1 ist, denn (nur) diese muss (aus der Angabe) konstant bleiben:

Richtungsvektor der Geraden: (-4a; 1; 3a)
Richtungsvektor der Schnittgeraden: (4/5; 1; -3/5) [-> dein (-4/3; -5/3; 1) ist richtig, allerdings soll x2 = 1 werden!]

Verkürze oder erweitere diesen daher noch entsprechend (es ergibt sich o.a. Vektor), dann berechne daraus a und gut ist es!

Klappt's jetzt?

mY+

08.12.2014, 11:38

riwe

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Zitat:

Original von moclus

Edit: Jetzt versteh ich das, es handelt sich um einen Koeffizientenvergleich. So bekomm ich für a 1/3 raus. Aber was ist mit der zweiten Komponente? Wie die Schnittgerade zur Schar gehören kann, versteh ich immer noch nicht

ja genau, ich erhalte allerdings einen anderen Wert für a, und damit letztlich - nach ein bißchen Kosmetik - für Rchtungsvektor und Gerade

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt mußt du nur noch zeigen, dass der Punkt(50/3,55/3,0) auf dieser Schargeraden liegt

(für lambda = 8/3)

09.12.2014, 15:32

moclus

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Vielleicht könnt ihr beiden verstehen, dass ich schon durcheinander bin, wenn beide etwas anderes sagen ... wie soll ich denn nun vorgehen? Die Richtungsvektoren gleichsetzen? Ich dachte a 1/3 wäre richtig ... und wie ich die 1 beibehalte versteh ich auch nicht. Mit dem Punkt (6 5 8) hab ich das überprüft, also kann ich r(A) direkt als Stützvektor (6 5 8) nehmen, so wie es riwe auch gemacht hat. Aber weiter komm ich nicht.

Edit: @ Mythos, du hast alle Vektorkomponenten mit -3/5 multipliziert, um dort eine 1 zu bekommen. Ist das richtig? Der Betrag des Vektors verändert sich doch dadurch. Bin irritiert, warum die Umformung zulässig ist.

Edit2: Ich komme so tatsächlich auf a 1/5!. Kann es sein, dass mit dem anderen Stützvektor a 1/3 ist?

11.12.2014, 19:03

mYthos

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Zuerst zur Klarstellung:

Es sagt nicht jeder etwas anderes, sondern riwe hat dir einen möglichen Weg gezeigt und ich dir eine Alternative, von der ich annehme, dass sie etwas leichter zu rechnen bzw. zu durchschauen ist.
Selbstverständlich führen beide zu der richtigen Lösung und das müssen sie auch!
Es liegt nun an dir, jene Variante zu wählen, mit der du besser zurechtkommst, du hast die Wahl.
Offensichtlich hat riwe keine Lust mehr, noch näher in die Details zu gehen, vielleicht hatte er es auch nicht gerne, dass noch jemand anderer seinen Senf zu der Sache gegeben hat.
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Anyway, der Richtungsvektor einer Geraden ist immer beliebig verkürz- oder verlängerbar, den "herausgezogenen" Faktor kann man sich in den Parameter eingearbeitet denken.
Und nachdem in der Angabe bei den Richtungsvektoren die y-Komponente als einzige konstat gleich 1 gegeben ist, liegt es doch nahe, auch den Richtungsvektor der Schnittgeraden so zu multiplizieren, dass auch bei diesem die y-Komponente gleich 1 wird.
Die Gerade verändert sich dabei in keiner Weise (!). Somit ist ein direkter Koeffizientenvergleich möglich und in der Tat ist dabei a = -1/5 (auf das negative Vorzeichen hast du vergessen?).

mY+

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