Abbildung von Polynomen

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zunder Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung von Polynomen
Meine Frage:
Hallo, hab eine Frage zu folgender Aufgabe. Wir berechnen den Vektorraum aller Polynome vom Grad ,
Sei weiterhin die Abbildung T:,
- für alle gegeben.

a)Zeigen Sie dass T eine lineare Abbildung ist.
b)Geben Sie eine Basis für KernT an.

Meine Ideen:
Bei der a) hab ich
(Homogenität) Bei der Additivität habe ich noch Probleme, da ich nicht weiß, wie ich das Integral schreiben soll.
Auf jeden Fall muss herauskommen:

Bei der b) muss ich ja zwei linear unabhängige Polynome aus finden, sodass , da hab ich aber nur die 1(1*x^0) gefunden und keinen anderen, der sich nicht als ein Vielfaches davon darstellen lässt.

Danke für die Antworten.
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RE: Abbildung von Polynomen
Als erstes würde ich ein Wort darüber verlieren, warum gilt.
Homogenität ist ok, bei der Additivität hast du dich verlaufen.
Deine Vektoren sind die Polynome, nicht das x oder y. Dementsprechend geht es um T(p+q)
 
 
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Ok, ich weiß, wo mein Fehler bei der Additivität ist. Ich dachte, dass auf abgebildet wird.
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Ich weiß nicht genau, was du mit dem ersten Satz meinst.
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RE: Abbildung von Polynomen
Ich meinte eigentlich: Als erstes würde ich ein Wort darüber verlieren, warum gilt.

In der Aufgabe steht lapidar .
Man könnte sich als erstes überlegenen, dass tatsächlich gilt.
Aber das ist nicht notwendig, weil nicht in der Aufgabenstellung verlangt.
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Okay, meinst du, dass es mir bei der zweiten Teilaufgabe hilft? Dass ist, ist mir eigentlich klar.

Kannst du mir einen Tipp für die Bestimmung der Basis des Kerns geben?
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RE: Abbildung von Polynomen
Nein, das hat mit dem zweiten Teil nichts zu tun. Das wäre Vorgeplänkel gewesen.

Bei b) hast du geschrieben, du müsstest zwei linear unabhängige Polynome finden. Wie kommst du auf zwei?
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Naja, wenn ich zwei habe, dann habe ich schonmal eine Basis.
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RE: Abbildung von Polynomen
Wie kommst du darauf, die Dimension des Kerns sei 2?
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Ich habe gedacht, dass zwei ausreichen, um eine Basis zu bilden, aber das stimmt wohl nicht. Bei einer anderen Teilaufgabe ging es darum eine Darstellungsmatrix zu den Basen und zu finden und das habe ich auch gemacht. Ich weiß nicht, ob das eine Rolle spielt.
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RE: Abbildung von Polynomen
Nochmal, wie kommst du auf die zwei?
Zwei linear unabhängige Polynome im Kern kann es nur geben, wenn der Kern zweidimensional ist (dreidimensional kann er nicht sein, sonst wäre T=0)
Tatsächlich ist der Kern eindimensional, zwei Polynome sind also sogar zu viel für eine Basis.
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Sieht dann die Basis vielleicht so aus? c mit , da dann das Integral gleich dem Polynom*x wäre.
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RE: Abbildung von Polynomen
Überleg doch mal, das kann doch gar nicht stimmen.
Der Kern von T muss doch Teilmenge von sein.
Vermutlich hast du diesen Raum stillschweigend mit identifiziert. Jetzt musst du diese Identifikation nur rückgängig machen.

Außderdem hast du eine Basis des Kerns doch schon richtig angegeben
Zitat:
die 1(1*x^0)

Wie bist du denn darauf gekommen?
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Sorry, hab schon wieder vergessen, dass wir im Polynomraum sind. Ich habe einfach die Abbildung von 1 gebildet, wie in der Teilaufgabe verlangt war und da ist 0 herausgekommen.
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RE: Abbildung von Polynomen
Aber das ist natürlich noch kein Beweis, dass der Kern wirklich eindimensional ist.
Aber wenn du schon die Darstellungsmatrix von T hast, dann kannst du damit die Dimension des Kerns leicht ermitteln.
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Der Rang der Darstellungsmatrix ist 2 und die Dimension von ist ja 3. Dann muss die Dimension des Kerns gleich 1 sein (3-2), oder?
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RE: Abbildung von Polynomen
Wenn du statt nimmst, ist alles richtig Freude
zunder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von Polynomen
Ja, stimmt. Dann wäre ich damit fertig. Danke!
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