Logarithmus - Konvergenz gegen Positivteil

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Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus - Konvergenz gegen Positivteil
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe . Dann folgt ja aus der endlichen geometrischen Reihe für , dass .
Nun soll ich beweisen, dass lokal gleichmäßig auf .


Meine Ideen:
So direkt sehe ich das nicht. Ich hätte jetzt die Idee, dass dies durch umformen oder mit der Reihenentwicklung des Logarithmus folgt.
Bei Wikipedia habe ich folgende Reihenentwicklung gefunden:
.
Wenn man für z nun bzw einsetzt und den Bruch mit den Logarithmusgesetzen als Differenz schreibt, ergibt sich bei mir:
.
Dies ist nun eine Art Teleskopsumme, wo sich Teile wegkürzen. Da n aber nicht gegeben ist, weiß ich nicht, wie ich nun allgemein begründen kann, dass dies gegen konvergiert.
Hat jemand eine Idee??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmus - Konvergenz gegen Positivteil
Für ist es leicht zu sehen, dass die linke Seite eine (gleichmäßige) Nullfolge ist (geometrische Reihe konvergiert). Und ist auch recht leicht zu sehen (leicht zu bestimmenden Summe und langsamer Wachstum im log).

Auf dem Rest willst du zeigen, dass
(warum?), was auch recht leicht zu sehen ist.

Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass ein paar Begründungen nett wären.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für ergibt sich 0.
Für muss sich für ja auch 0 ergeben. Woraus folgt das, sagst du? Die geometrische Reihe besteht zwar aus einer Nullfolge, aber insgesamt ergibt sich nicht Null oder?
Und für soll sich dann ergeben, da der Logarithmus dann größer Null ist, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Für musst du aber noch die Konvergenz zeigen.

Wenn konvergiert (gegen einen Wert, der nicht 0 sein muss), was sagt das dann über aus? Sehe gerade, dass es lokalgleichmäßig nur auf gilt.

Und richtig für soll es gegen konvergieren.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Also: Wenn S_n konvergiert (hier für erfüllt, da geometrische Reihe), heißt es, dass log S_n beschränkt ist und geht dann gegen Null.
Hast du eine Idee, wie das für folgt? Du hast ja da schon was zu geschrieben, wie kommst du genau auf die Glieder im Bruch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst ja auch noch etwas machen Augenzwinkern

Im ersten Schritt habe ich benutzt. Danach habe ich ein wenig rumgerechnet. Schau ob du auch darauf kommst.
 
 
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Das Argument mit der Beschränktheit ist aber OK?
Mh, irgendwie komme ich auf zusätzlich im Zähler, du hast es im Nenner..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe benutzt, daher kam es in den Nenner. Wenn du es auch gemacht hast, wäre es wohl besser ich sehe die Rechnung.

Und ja, das Argument mit Beschränktheit ist in Ordnung. Für bist du aber nicht beschränkt.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe
Ok. Für habe ich die Konvergenz mit der Abschätzung für n>0 begründet.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung ist richtig, aber es bringt dir nichts. Damit kann es immer noch gegen alle Zahlen zwischen 0 und 1 (beides inklusive) konvergieren.

Und da ist der Fehler
.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh! Danke! :-)
Damit folgt dann, dass der Term im Logarithmus (vermutlich gegen 1) konvergiert und mit dem als Faktor davor ergibt sich dann, dass dies gegen 0 konvergiert.

Mh, ok, fällt dir spontan ein Argument für die Konvergenz für ein?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann leicht zeigen, dass
für x gegen unendlich konvergiert. Da tut es im Notfall auch L'Hospital.

Und ja, das Innere im Logarithmus konvergiert gegen 1, log(1) = 0 und dann kommt noch 1/n daher und macht es noch kleiner. Dass es nur lokale gleichmäßige Konvergenz ist, scheint wirklich nur in der 0 zu liegen. Im Unendlichen wird die Konvergenz nämlich nur besser.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, danke, danke!
Fühl dich auf nen Kaffee eingeladen! :-)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Dann trifft sich ja gut, dass ich gerade einen trinke smile

Denk aber daran, dass du bis jetzt nur punktweise Konvergenz gezeigt hast. Die Beweise zu lokalgleichmäßiger Konvergenz zu erweitern ist nicht besonders schwer, aber dennoch muss es gemacht werden
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ok, das ist ewig her.
Der Unterschied war meine ich, dass das N für die Konvergenz nicht von x, sondern nur von Epsilon abhängt...
Das ist bestimmt eine kleine formale Sache, kannst du mir noch einen letzten Tipp geben, was ich jetzt noch dazuschreiben muss?? :-)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast für alle . Sei nun kompakt. Zu zeigen ist
.
Das kann man abschätzen gegen
.

Es reicht also anzunehmen, dass K Teilmenge von den kleinen z oder Teilmenge der großen z ist. Hier gilt es entweder das Supremum explizit zu finden oder es geschickt abzuschätzen, so dass die Abschätzung nicht von der Wahl von z aus K abhängt.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich denke, geschickt abschätzen ist dann eine elegante Methode.
So direkt sehe ich leider gerade nicht, was genau ich abschätzen muss... :-( Hast du noch einen kleinen Tipp für mich?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Was kannst du über sagen, falls ?

Edit: Du kannst beide Betraege eigenstaendig betrachten. Vorallem das erste ist sehr einfach zu machen, wenn du die obige Frage zielfuehrend beantwortest.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

ist beschränkt, weil K kompakt ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist . Wichtig ist, dass du "weit" weg von der 0 bist und nicht beliebig nahe dran kommst.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt auch wegen des Kompaktheitsarguments?
Ok, betrachten wir den ersten Betrag. Dann betrachten wir also nur die z aus K, die vom Betrag kleiner als 1 sind. Weiter wissen wir, dass wir nicht beliebig nah an die Null heran kommen. Ok. Dann ist ja 0, also alles gut. ist auf jeden Fall größer als Null. Ab jetzt hänge ich wieder... :-(
Ach Moment, ist es das vllt schon, weil wir jetzt nicht mehr von z abhängen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betragsfunktion ist stetig. Auf kompakten Mengen nehmen stetige Funktionen Maximum und Minimum an. Das c ist also das Minimum des Betrags (oder weil ich ausversehen echtes Ungleichzeichen genommen habe meinetwegen die Hälfte davon).

Du musst mal gucken: Wann wird groß? Wenn S_n nahe bei 0 ist, oder sehr groß. Fangen wir damit an, wenn S_n sehr nahe bei 0 ist -- was sagt das über den Betrag von z aus? Ist er groß oder klein?
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist der Betrag sehr klein, weil ja die endliche Summe der Beträge ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, aber wie klein kann der Betrag nur werden? Kriegen wir dadurch eine Schranke für log S_n.

Und mir ist leider aufgefallen, das ich nicht genau bei der Definition bei S_n geguckt habe. Da du bei n = 0 startest, ist S_n immer größer als 1, also kann das nicht passieren. Insbesondere könnte man wählen.

Entschuldige.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

ist am größten für , also das Minimum. Also ist das unsere Schranke: (wenn wir c in S_n einsetzen)...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, was passiert nun fuer n gegen unendlich bei
?

Und schon ist der hyptothetische Fall abgeschlossen Augenzwinkern

Leider bin ich gleich fuer eine Weile weg. Dann hast du wenigstens Zeit dir zu überlegen, wie du das zweite abschätzen kannst.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, das geht gegen 0. Obwohl log(n+1) ja gegen Unendlich geht, aber langsamer?
Ok, mh, dann lass dir den Glühwein schmecken ;-)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne das c hatten wir das schon mal (L'Hosptial).

Und nein, noch nicht Gluehwein -- und nun wirklich weg.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen :-)
Ok, der zweite Summand ist wohl ziemlich tricky. Ist es möglich, dass dieser nur für läuft? Dann könnte man die Darstellung durch die endliche geometrische Reihe einsetzen...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

dem Supremum ist leider egal ob da größer gleich oder echt größer steht. Es wird sich schon eine finden, die im Betrag gegen 1 konvergiert -- wenn er so will.

Momentan überlege ich noch an einem eleganten Weg, aber alternativ bietet sich das folgende:
Untersuche . Dies ist für festes n eine stetig differenzierbare Funktion und man kann es auf Maxima, Minima bzw. allgemeines Verhalten im Intervall [1,2] untersuchen. Ich hoffe einfach da kommt etwas "schönes" bei raus.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und in der allgemeinen Darstellung als Summe der Beträge?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jop (interessant ist gerade ). Vorallem mit Logarithmengesetzen sollte da was "annehmbares" stehen.

Edit: Endlich etwas schönes:

Im Logarithmus steht
.
Die Substitution liefert mit
.

Nach dem Mittelwertsatz ist das Innere also schön in Abhängigkeit von n beschränkt und damit wären wir fertig.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Aber hier hast du die Darstellung für verwendet, die für bzw nicht definiert ist.. Ist das kein Problem?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich leicht überlegen, dass für stetige Funktionen f gilt
.
Die -Ungleichung ist trivial und die andere ist nicht viel Arbeit.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also schreibe ich die Abschätzung mit den zwei Faktoren zunächst um mit einmal und einmal und dann geht die Darstellung für den zweiten Summanden.
Haben gestern schon zu zweit dran gesessen, ich weiß nicht mehr genau den Weg, aber dann folgte es für auch, indem wir eine Abschätzung hatten . Das Problem lag nur bei , aber wenn wir das vernachlässigen können, läuft das ja..

Edit von Guppi12: Auf Wunsch von Fenistil Hinweis auf eigene Person entfernt.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nochmal zu deinem Weg. Also wir haben, dass die rechte Seite in Abhängigkeit beschränkt ist. Damit folgt dann direkt, dass das gesamte Supremum gegen 0 geht?
Sorry, bin grad nicht mehr so ganz drin, hab grad noch was anderes gemacht..
Edit: Ach ja, das ist ja quasi wie wir das schonmal hatten!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schau es dir gleich noch einmal in Ruhe an...
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Mach ich!
Edit: Ach ja, wir teilen das ganze ja durch n und damit geht das gegen 0!!!!!!! Geil! :-)

Ok und ist das wirklich so, dass ? was ist denn, wenn f genau in das Supremum annimmt?
Das liegt an der Definition vom Supremum, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist im Allgemeinen auch falsch. Man benötigt Regularität in f damit es gilt. Wenn f stetig ist und in 1 das Maximum annimmt, dann ist es in der Nähe der 1 beliebig nahe an dem Maximum dran. Und dann ist es die Definition des Supremums.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, leuchtet mir ein.
Reicht es, das so zu begründen, oder muss da ein formaler Beweis hin?
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