Ableitung Funktionsscharen [Abi 2014 NRW]

08.12.2014, 19:55

Zajkar

Ableitung Funktionsscharen [Abi 2014 NRW]

Guten Abend,

Ich habe hier eine Funktion, die geht wie folgt :

[attach]36389[/attach]

Beim Graphen steht zu der Y-Achse f20(t) (Also 20 als Parameter für "a") in Promille.

Ich dachte daran, das "a/60" mit der "1" und der "-e^-1/20 t" zu multiplizieren, was aber an sich nicht viel ändert.
Ich komme da einfach gar nicht drauf.
Habe die Kontroll Ableitung unten drunter stehen aber das bringt mir ja nichts.

u(x) und v(x) kann ich hier auch nicht draus erkennen unglücklich

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

08.12.2014, 21:00

Bjoern1982

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Es wäre auch nicht verboten gewesen die Funktion hier einfach zu posten. Augenzwinkern

Ich hab den Link jetzt nicht angeklickt aber 2014 war das definitiv nicht im Abi, mir kommt es eher von 2012 (LK) bekannt vor.

Es geht wohl um die Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_a(t)=\frac{a}{60} \cdot (1-e^{-\frac{1}{20}t})-\frac{1}{600} \cdot t \end{eqnarray*}$

Du kannst die Klammern auflösen, muss aber nicht unbedingt sein.
Zu gebrauchen wäre hier die Kettenregel, denn a/60 ist ja nur ein konstanter Vorfaktor und um den Term in der Klammer abzuleiten, muss man ja nur den Exponentialterm betrachten, da 1 ja beim Ableiten wegfällt.
Die Ableitung vom Summanden -(1/600)t ist klar ?

08.12.2014, 21:04

Bonheur

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Warum setzt du für $\begin{align*} a=20 \end{align*}$ ein, wenn gefragt ist, dass du das globale Maximum in Abhängigkeit des Parameters bestimmen sollst.

$\begin{align*} f_{a}(t)=\frac{a}{60} \left(1-e^{-\frac{1}{20}t}\right)-\frac{1}{600}t \end{align*}$

Stichwort: Kettenregel

Du könntest $\begin{align*} z=-\frac{1}{20}t \end{align*}$ substituieren.

Edit1:
Bin weg, viel spaß. smile

08.12.2014, 21:28

Zajkar

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Ja, 2012 kann gut sein. (Vom Mathe LK) (Bin selber im Mathe LK und bereue es )

Also ich wusste nicht, dass man hier die Funktionen so perfekt hinschreiben kann, aber die stimmt soweit smile

Konstanter Vorfaktor - Noch nie gehört aber bei Google auch nicht wirklich was gefunden, was ICH verstehe.
Exponentialterm - Kenne ich auch nicht den Begriff.
Naja bei uns im Mathe Unterricht läuft es auch eher so ab, dass der Lehrer oft was hinschreibt und sehr oberflächlich und sparsam erklärt. Und wir dann halbwegs Rätseln müssen, wie man darauf kommen könnte. (Aber unser Kurs ist auch nicht der bestE)

-(1/600)t abgeleitet wäre dann ja nur noch -(1/600), weil die Variabel t wegfällt.
Kettenregel wäre meine ich : Ganz normal äußere Ableitung, und die innere Ableitung dann einfach rechnen und hinten als Multiplikation dranhängen.
Aber woran erkenne ich was hier aussen und was innen.

Hier kann ich das ja wunderbar anwenden

f(x) = (2x+3)^2
f'(x) = 2(2x+3) mal 2

Aber bei der Aufgabe die ich gepostet habe bzw. Bjoern1982 komme ich ins stocken.

@Bonheur, zur Aufgabe, das globale Maximumbestimme ich doch, indem ich die erste Ableitung von der Funktion nehme und diese dann gleich 0 setze.
Und den wert für "t" ausrechne. (Das ist dann für die X-Achse, oder ? )
Den t-Wert dann in die Grundfunktion und schon haben wir den Y-Wert raus.
Dann noch mal den t-Wert in die 2. Ableitung um zu gucken ob es nen Hochpunkt oder Tiefpunkt ist.
(Globale Maximalstelle ist doch ein Hochpunkt mit gemeint, oder?)
Verstehe aber diese Abhängigkeit von einem Parameter nicht.

08.12.2014, 23:02

Bonheur

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Zitat:

Original von Zajkar
Konstanter Vorfaktor - Noch nie gehört aber bei Google auch nicht wirklich was gefunden, was ICH verstehe.
Exponentialterm - Kenne ich auch nicht den Begriff.
Naja bei uns im Mathe Unterricht läuft es auch eher so ab, dass der Lehrer oft was hinschreibt und sehr oberflächlich und sparsam erklärt. Und wir dann halbwegs Rätseln müssen, wie man darauf kommen könnte. (Aber unser Kurs ist auch nicht der bestE)

Die Faktorregel besagt, dass der konstante Vorfaktor beim Differenzieren erhalten bleibt.

z.B.

$\begin{align*} f(x)=3 x^{2} \to f'(x)=3 \cdot 2 x=6x \end{align*}$

Es ist ersichtlich, dass der Vorfaktor in dem Fall drei, beibehalten bleibt.

___________________________________________________________________________
______

$\begin{align*} f_{a}(t)=\frac{a}{60} \left(1-e^{-\frac{1}{20}t}\right)-\frac{1}{600}t \end{align*}$

Und die eins, die in den Klammern ist, fällt beim Differenzieren weg d.h. man braucht sich nur, wie Bjoern1982 schon gesagt hat, den Exponentialterm betrachten.

$\begin{align*} g(x)=e^{-\frac{1}{20}t} \end{align*}$

Wenn du nun $\begin{align*} u=-\frac{1}{20}t \end{align*}$ substituierst, ist es ersichtlich, welche Funktion die äußere ist.

$\begin{align*} g(x)=e^{u} \end{align*}$

d.h. deine Exponentialfunktion ist deine äußere Funktion und deine innere Funktion ist die Funktion, die du substituiert hast.

Zitat:

Original von Zajkar
zur Aufgabe, das globale Maximumbestimme ich doch, indem ich die erste Ableitung von der Funktion nehme und diese dann gleich 0 setze.
Und den wert für "t" ausrechne. (Das ist dann für die X-Achse, oder ? )
Den t-Wert dann in die Grundfunktion und schon haben wir den Y-Wert raus.
Dann noch mal den t-Wert in die 2. Ableitung um zu gucken ob es nen Hochpunkt oder Tiefpunkt ist.
(Globale Maximalstelle ist doch ein Hochpunkt mit gemeint, oder?)
Verstehe aber diese Abhängigkeit von einem Parameter nicht.

Richtig.
Du hast eine Funktionenschar d.h. unendlich viele Funktionen und zu jeder Funktion kann man den Hochpunkt berechnen und da du Realistischerweise auch unendlich viele Hochpunkte hast, kannst du diese in Abhängigkeit eines Parameters ausdrücken.
Und das globale Maximum ist der höchster Punkt.

08.12.2014, 23:49

Zajkar

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Differenzieren ist doch ein Synonym für das Ableiten, oder ?
Wenn Differenzieren = Ableiten, dann wird mir das überhaupt nicht mehr ersichtlich.
Weil ich doch diesen Thread aufgemacht habe, weil ich eben nicht weiß, wie ich das Ableiten/Differenzieren soll.

Zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} t \end{eqnarray*}$ substituieren, wie kommt man nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} \end{eqnarray*}$ ?
Und zu substituieren, ich komme damit nicht klar, wenn es das Thema "Integration durch Substitution" ist, weil ich das mit dem f(z) nicht verstehen will.

Integral(a bis b) f(g(x)) mal g'(X)dx = integral ((g)a bis (g)b)) f(z) dz.

g(x) wäre hier dann 20, also g(x) = 20 und f(z) wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ t
g'(x) = 0 [20 abgeleitet ist ja gleich nichts, also fällt es weg !]

Verzweiflung traurig

Freitag schon die Klausur unglücklich

Achso ok, ich habe es nun gesehen, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} t \end{eqnarray*}$ ist der Exponent von der Eulerschen Zahl.
Trotzdem ergibt das ganze für mich einfach keinen Sinn unglücklich

09.12.2014, 00:36

Bonheur

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Tut mir leid, wenn das ein wenig Kahl rüber kam, sollte es keineswegs.

Wieso bringst du die Integration mit ein. Wir sind nicht beim Integrieren, sondern beim Ableiten. Augenzwinkern

Kommen mir auf die Funktion zurück, die wir ableiten möchten:

$\begin{align*} f_{a}(t)=\frac{a}{60} \left(1-e^{-\frac{1}{20}t}\right)-\frac{1}{600}t<br /> \end{align*}$

Wir haben oben schon geklärt, dass $\begin{align*} \frac{a}{60} \end{align*}$ beim Differenzieren(Ableiten) erhalten bleibt, siehe Faktorregel. Und lass dich nicht vom Parameter $\begin{align*} a \end{align*}$ irritieren.
Es ist bloß ein Parameter.

Und der Ausdruck der in den Klammern steht, kann man auch Komponenten Weise d.h. Summenweise ableiten, siehe Summenregel.

Die Ableitung einer Konstanten, in dem Fall eins beträgt null, siehe Konstantenregel.

Jetzt kommt allerdings der Exponentialterm, den man nicht so einfach ableiten kann, dazu benötigen wir die Kettenregel.

Um die Regel einfach zu erklären! "Äußere Ableitung mal Innere Ableitung"

Dazu brauchst du die innere und äußere Funktion!

$\begin{align*} -e^{-\frac{1}{20}t} \to \text{Wegen der Substitution des Exponentens folgt:} -e^{z} \end{align*}$

Und wenn man den Exponenten substituiert, hat man direkt die äußere Funktion und es eignet sich auch diesen Teil zu substituieren, weil die Ableitung von $\begin{align*} \left(-e^{z}\right)'=-e^{z} \end{align*}$
Die Ableitung der inneren Funktion hast auch schon gebildet:
$\begin{align*} \left(-\frac{1}{20}t\right)'=-\frac{1}{20} \end{align*}$

Rücksubstituieren: $\begin{align*} -e^{-\frac{1}{20}t} \end{align*}$ mal die Innere Ableitung:

Schlussendlich: $\begin{align*} +\frac{1}{20} \cdot e^{-\frac{1}{20}t} \end{align*}$

_____________________

Versteht du es bis hierher und weißt du nun, wie man weiter verfahren muss ?

09.12.2014, 01:03

Zajkar

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Ersteinmal Danke für die Mühe mir zu helfen.
Aber habe ich in Mathe geschlafen, oder wieso höre ich jetzt zum ersten mal etwas von Summenregeln und Konstantenregeln.

Also zu $\begin{eqnarray*} \frac{a}{60} \end{eqnarray*}$ , wir haben gelernt, dass der Parameter als eine Zahl zu sehen ist und nicht als eine Variabel, wie in diesem Fall es "t" wäre.
Also würde dann doch sofort $\begin{eqnarray*} \frac{a}{60} \end{eqnarray*}$ wegfallen beim Ableiten, weil es ja nur aus Zahlen besteht.

Habe mir das nochmal angesehen, und Faktorregel sowie Potenzregel, haben wir ganz einfach "Ableiten" genannt.
Mir ergibt sich auch der Unterschied zwischen den beiden Regeln nicht, aber ok.
Summenregel ist doch einfach nur, dass man auch einen Term, stückweise ableitet. (Das fiel bei uns auch unter dem Begriff "Ableiten").

In dem Fall, wird 1 abgeleitet und daraus wird 0.
Bei - $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20}t } \end{eqnarray*}$ wird auch nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20}t -1 } \end{eqnarray*}$

Kettenregel kann ich ja, bloß kann ich hier nicht erkennen, was innere und was äußere Funktion ist.

Und dann was nach "Dazu brauchst du die innere und äußere Funktion!" kommt, verstehe ich nicht.
Substitution des Exponents.
Du nennst den Exponenten einfach nun "z".
Und bei dem Rest nur noch Bahnhof mit Mais.
Ich finde auch bei Google nichts, wenn ich Substitution eingebe, zumindest nichts was so ähnlich aussieht, was du gerade gemacht hast.

09.12.2014, 02:24

Bjoern1982

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Zitat:

Also würde dann doch sofort $\begin{eqnarray*} \frac{a}{60} \end{eqnarray*}$ wegfallen beim Ableiten, weil es ja nur aus Zahlen besteht.

Nur, wenn es ein Summand ist, hier liegt ein Faktor vor.

Zitat:

Bei - $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20}t } \end{eqnarray*}$ wird auch nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20}t -1 } \end{eqnarray*}$

Nein, diese Regel gilt nur Potenzen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ , nicht etwa für sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Kettenregel kann ich ja, bloß kann ich hier nicht erkennen, was innere und was äußere Funktion ist.

Dann schau doch mal bei $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20}t } \end{eqnarray*}$ , soooo viele Möglichkeiten gibt es da ja nun auch nicht. Und ob man es richtig gemacht hat, kann man ja immer dadurch prüfen, indem man die innere Funktion in die äußere Funktion einsetzt, denn dann MUSS wieder die Ausgangsfunktion da stehen.

Zitat:

Konstanter Vorfaktor - Noch nie gehört

Die 2 bei 2x kann man z.B. als konstanten (also von x unabhängigen) Faktor VOR dem x bezeichnen.
Eigentlich relativ selbsterklärend, oder nicht ?

Zitat:

Exponentialterm - Kenne ich auch nicht den Begriff.

Sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$ kann man z.B. als Exponentialfunktion bezeichnen, eben weil hier das x im Exponenten steht - auch das ist relativ naheliegend, nicht wahr ?

09.12.2014, 15:16

Zucker. Gast

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Rechnen
Kann das jemand von euch bitte einmal komplett vor rechnen.
Dann kann ich das besser nachvollziehen.

09.12.2014, 15:31

klarsoweit

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Erkläre du doch lieber, was dich denn nach all den Erklärungen daran hindert, die Funktion $\begin{eqnarray*} f_a(t) = \frac{a}{60} \cdot (1-e^{-\frac{1}{20}t}) - \frac{1}{600} \cdot t \end{eqnarray*}$ abzuleiten.

09.12.2014, 16:06

Zajkar

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Na eben das ganze wie es hier beschrieben wurde.
Ich kann mir unter dem ganzen nämlich nichts vorstellen.
Ich habe heute schon jeden aus dem Mathe LK Kurs gefragt, keiner wusste so recht wie das geht.
Der eine meint einfach sofort ln() machen.

Wie gesagt, es würde mir sicherlich total helfen, wenn jemand mir das einmal schön vorrechnen könnte.
Dann könnte ich es von ableiten (Also verstehen).
Substituieren weiß ich nicht was damit gemeint ist, oder ob wir das überhaupt gemacht haben.

Wenn ich das ganze oberflächlich versucht hätte abzuleiten, dann wäre das so :

(1/20 t mal e ^-1/20 t -1) - 1/600

10.12.2014, 08:37

klarsoweit

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Wenn ich dich richtig einschätze, sind dir im Grunde die relevanten Ableitungsregeln bekannt. Die einzige Frage ist, wie die Funktion $\begin{eqnarray*} g(t) := e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird. Dazu hat auch schon Bonheur einen ausführlichen Beitrag und das Ergebnis geliefert:

Zitat:

Original von Bonheur
Jetzt kommt allerdings der Exponentialterm, den man nicht so einfach ableiten kann, dazu benötigen wir die Kettenregel.

Um die Regel einfach zu erklären! "Äußere Ableitung mal Innere Ableitung"

Die Frage ist jetzt, ob dir die Kettenregel geläufig ist? Die Suche nach der äußeren und der inneren Funktion nehme ich dir ab.
Wir definieren als
- äußere Funktion $\begin{eqnarray*} z(t) = e^t \end{eqnarray*}$ und als
- innere Funktion $\begin{eqnarray*} y(t) = -\frac{1}{20}t \end{eqnarray*}$

Damit ist g(t) = z(y(t)) . Jetzt brauchst du nur noch die Ableitungen von z(t) und von y(t) und mußt dann alles mit der Kettenregel zusammenbauen: g'(t) = z'(y(t)) * y'(t) .

10.12.2014, 17:11

Zajkar

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Danke "klarsoweit" für den Versuch, aber bei dir verstehe ich es nicht.

Habe das heute mit nem Kurs-Kollegen ausgerechnet, der auch daran gerechnet hat.
Haben das nun so gerechnet für 1 a) .

Das habe ich nun viel eher verstanden smile

Was ich aber nicht verstehe ist die Regel da unten mit den Ausrufezeichen.
Ich wäre da nie drauf gekommen und so wirklich besprochen haben wir das auch nirgends.
Außerdem brauche ich doch ein Ergebnis das kleiner als 0 ist, damit es sich um einen Hochpunkt/Maximalstelle handelt. (Was wir ja mit -20 ln(2/a) haben).
Aber nun wird das in etwas positives umgeformelt, was ja für einen Tiefpunkt sprechen würde.
Kann mir jemand den Sinn daran erklären und woran ich das erkenne ?
(Weil können ist ja das eine, aber mir bringt das können ja nichts, wenn ich es nicht erkenne).

Aber so mit der Rechnug hier wäre ich fertig mit der Aufgabe oder ?
tinyurl(punkt)com/l2eyl38

11.12.2014, 08:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zajkar
Danke "klarsoweit" für den Versuch, aber bei dir verstehe ich es nicht.

Das Problem ist, daß du leider nicht konkret postest, was du nicht verstehst. Die Beherrschung der Kettenregel ist elementar nötig zu Bewältigung dieser Aufgabe. Und ein LK-Teilnehmer muß diese Regel im Schlaf können.

Zitat:

Original von Zajkar
Habe das heute mit nem Kurs-Kollegen ausgerechnet, der auch daran gerechnet hat.
Haben das nun so gerechnet für 1 a) .

Da wäre es ja schön, wenn du mal euer Ergebnis postest.

Zitat:

Original von Zajkar
Was ich aber nicht verstehe ist die Regel da unten mit den Ausrufezeichen.
Ich wäre da nie drauf gekommen und so wirklich besprochen haben wir das auch nirgends.

Statt eines verunglückten Links solltest du das besser direkt posten.

11.12.2014, 18:36

Zajkar

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Kettenregel ist ja einfach.
Aber ich sehe nicht, wo ich sie bisher anwenden sollte bei den geposteten Aufgaben.
Aber ich zumindest habe bisher alles hinbekommen.

Achja, ich kann hier ja keine Fotos direkt mit Link hochladen, deswegen muss ich das immer so ungeschickt hier rein posten.

Also wie gesagt Kettenregel habe ich hier bisher nirgends anwenden müssen.
dann zu b (2) , da schaffe ich es nicht die Ableitung zu bilden, zumindest nicht so wie es hier zur Kontrolle steht.

bei b (3), da muss ich eben für die Stammfunktion einmal für t = 140 und einmal für t = 0 einsetzen oder ?
und dann eben diese subtrahieren und nochmal durch 140 dividieren, eben wie es hier gepostet habe.
Aber da kommt bei mir nur 52,3897 raus.
$\begin{eqnarray*} \frac{F(140)-F(0)}{140} \end{eqnarray*}$

Ja und b (4) verstehe ich nicht.
Da soll man die blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach 140 Minuten nach dem leeren des Glases berechnen.
Aber die Graph geht nur bis t = 140.

Kann mich nicht bitte ein Moderator/Admin aktivieren, damit ich endlich links bzw. Bilder posten kann ?
Für datei anhänge sind die viel zu groß und kriege die nicht so gut komprimiert.

12.12.2014, 09:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zajkar
Kettenregel ist ja einfach.
Aber ich sehe nicht, wo ich sie bisher anwenden sollte bei den geposteten Aufgaben.
Aber ich zumindest habe bisher alles hinbekommen.

Da frage ich mich, wie du denn die Funktion $\begin{eqnarray*} g(t) := e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$ abgeleitet hast.
Und wie gesagt: bislang sehe ich nicht das Ergebnis deiner Ableitungsbemühungen, so daß auch eine Kontrolle nicht möglich ist.

Zu dem Rest der Aufgabe kann ich nichts sagen, da der Aufgabentext dazu fehlt.

Zitat:

Original von Zajkar
Kann mich nicht bitte ein Moderator/Admin aktivieren, damit ich endlich links bzw. Bilder posten kann ?
Für datei anhänge sind die viel zu groß und kriege die nicht so gut komprimiert.

Dateianhänge dürfen eine bestimmte Größe nicht überschreiten. Bilder im jpg-Format solltest du auf eine passende Größe beschränken können, ohne daß die Qualität darunter leidet.

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