A Schiefhermitesch, Eigenwerte in iR

11.12.2014, 10:54	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
A Schiefhermitesch, Eigenwerte in iR Hallo Ihr Ich habe in Linearer Algebra folgende Aufgabe bekommen: $\begin{eqnarray} \text{Beweisen Sie: Wenn A schiefhermitesch ist, dann liegen alle Eigenwerte von A in } i \mathbb{R}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Hinweis: Beweisen Sie, dass } \langle Bx,y \rangle = \langle x,By \rangle \text{ für alle } B \in M_{nn}(\mathbb{C}) \text{ und alle } x,y \in \mathbb{C}^n \text{ gilt.} \end{eqnarray}$ Wie man den Hinweis beweist ist mir nicht ganz klar. Ich hab folgendes versucht: $\begin{eqnarray} \text{Seien } x,y \in \mathbb{C}^n \text{ gegeben mit } x=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\text{ und } y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \text{,dann gilt für alle } B \in M_{nn}(\mathbb{C}): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \langle Bx,y \rangle = \langle B \sum_{i=0}^n x_i e_i , \sum_{j=0}^n y_j e_j \rangle \text{ } (e_i, e_j \text{ sind die Standardbasisvektoren von } \mathbb{C}^n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ und aus der Sesquilinearität von } \langle , \rangle \text{ folgt, dass} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle B \sum_{i=0}^n x_i e_i , \sum_{j=0}^n y_j e_j \rangle = \sum_{i=0}^n x_i \sum_{j=0}^n \overline{y_j} \langle B e_i , e_j \rangle \text{ ist.} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Bzw. kann man das so machen? Wirklich weiter hilft mir das $\begin{eqnarray} \langle B e_i , e_j \rangle \end{eqnarray}$ aber auch nicht wirklich. Zumindest habe ich keine Ahnung, wie ich dann auf $\begin{eqnarray} \langle x,By \rangle \end{eqnarray}$ schließen kann, weil ich ja alle möglichen Standardbasisvektoren miteinander kombiniere.... Hat einer eine Idee?
12.12.2014, 08:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du ja ein tollen Hinweis bekommen... Ich geb dir mal einen besseren: Vergiss den Hinweis und nimm dir stattdessen einen Eigenwert $\begin{align} a \end{align}$ sowie einen entsprechenden Eigenvektor $\begin{align} 0 \neq x \end{align}$ . Berechne nun $\begin{align} a\langle x,x \rangle \end{align}$ bis $\begin{align} - \bar a\langle x,x \rangle \end{align}$ rauskommt.
12.12.2014, 12:27	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Aber ehrlich gesagt komme ich da ohne einen weiteren Hinweis nicht drauf... Wenn ich den Hinweis aus der Aufgabe bewiesen hätte wäre die Sache ja klar, denn dann wäre $\begin{eqnarray} a\langle x,x \rangle = \langle ax,x \rangle = \langle Ax,x \rangle = \langle x, A^ \rangle = \langle x, (-A)x \rangle = - \langle x, Ax \rangle = - \overline{a} \langle x,x \rangle \end{eqnarray}$ Woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} a=- \overline{a} \end{eqnarray}$ wäre, was nur für $\begin{eqnarray} a \in i \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Sinn ergibt. Aber ohne diesen Hinweis komme ich beim besten Willen nicht darauf, wie man $\begin{eqnarray} a \langle x,x \rangle = - \overline{a} \langle x,x \rangle \end{eqnarray*}$ zeigen kann Hat jemand noch einen Tipp?

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