Inklusion und Exklusion 4 Wände 5 Farben

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11.12.2014, 14:12	Muffi568	Auf diesen Beitrag antworten »
Inklusion und Exklusion 4 Wände 5 Farben Ich habe eine nette Hausaufgabe von meinem Dozenten bekommen. Wir haben vier Wände (rechteckiger Raum) und fünf verschiedene Farben. An jeder Zimmerecke dürfen nicht die selben Farben aneinander stoßen. Wie viele Möglichkeiten haben wir die Wände zu bemalen? Ich habe zu Beginn erst mal ausgerechnet wie viele Möglichkeiten ich hätte wenn ich die Bedingung mit den gleichen Farben nicht hätte. $\begin{eqnarray} 5^4 = 625 \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich doch nur noch die Möglichkeiten herausfinden wie viele Möglichkeiten es gibt, dass gleiche Farben aneinader liegen. Habt ihr eine Idee wie ich zu dieser Summe komme? Problem ist, dass ich die Inklusion-Exklusion anwenden soll. Mein Problem ist weniger, dass ich nicht weiß wie es funktioniert, sondern viel mehr, dass ich nicht weiß wie ich zu den Überschneidungen komme. Könnt ihr mir helfen?
11.12.2014, 14:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch ziemlich naheliegend: $\begin{align} \Omega \end{align}$ sei die Menge aller Färbungen ohne diese Restriktion, da hast du bereits $\begin{align} \|\Omega\|=5^4=625 \end{align}$ ausgerechnet. Jetzt definiert man folgende Teilmengen $\begin{align} A_i \end{align}$ ... Farbe Wand $\begin{align} i \end{align}$ und $\begin{align} i+1 \end{align}$ stimmen überein für $\begin{align} i=1,2,3,4 \end{align}$ (dabei ist Wand 5 = Wand 1, sozusagen "modulo 4" betrachtet). Gesucht ist nun die Anzahl $\begin{align} \|\Omega\setminus (A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)\| = \|\Omega\| - \|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\| \end{align}$ , und $\begin{align} \|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\| \end{align}$ ist mit Inklusion-Exklusion (kurz: Siebformel) bestimmbar.
11.12.2014, 14:49	Muffi568	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich ist das leider nicht so naheliegend. Ich weiß nicht wie ich auf die Beträge von A1, A2, A3 und A4 komme.
11.12.2014, 15:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn zwei aufeinander folgende Wände dieselbe Farbe tragen, kannst du nur einmal statt zweimal die Farbe wählen. Die anderen beiden Wände sind nicht betroffen, es ist demnach $\begin{align} \|A_i\| = 5^3 = 125 \end{align}$ . Genauso ist dann $\begin{align} \|A_i\cap A_j\| = 5^2 = 25 \end{align}$ - interessanterweise ganz egal, ob i,j benachbart sind oder nicht. Was nun $\begin{align} \|A_i\cap A_j\cap A_k\| \end{align}$ sowie den nur einen Viererschnitt $\begin{align} \|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\| \end{align}$ betrifft, denkst du mal selbst nach.
11.12.2014, 16:41	Muffi568	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dann 259 raus. Oder ist die Formel falsch angewendet? $\begin{eqnarray} 5^{4}<br /> - (\| A_{1} \| + \| A_{2} \| + \| A_{3} \| + \| A_{4} \| ) <br /> + (\| A_{1} \cap A_{2} \| + \| A_{1} \cap A_{3} \| + \| A_{1} \cap A_{4} \| + \| A_{2} \cap A_{3} \| + \| A_{2} \cap A_{4} \| + \| A_{3} \cap A_{4} \| ) <br /> - ( \| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \| + \| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{4} \| + \| A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \|) <br /> + (-1)^{5} \| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \| = 259 \end{eqnarray}$
11.12.2014, 16:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf 260. - Du hast einen Dreierschnitt vergessen: $\begin{align} \left\|A_1\cap A_3\cap A_4\right\| \end{align}$ - Vor dem $\begin{align} \left\|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\right\| \end{align}$ steht nicht -, sondern +. - Welchen Wert hast du eigentlich für $\begin{align} \left\|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\right\| \end{align}$ raus?
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11.12.2014, 16:55	Muffi568	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich bin der logik gefolgt $\begin{eqnarray} 5^0 = 1 \end{eqnarray}$
12.12.2014, 00:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich hast du zu viele sogenannte IQ-Tests mit diesen unsäglichen "Setzen Sie folgende Reihe fort..."-Aufgaben gemacht. Hier in der wirklichen Mathematik ersetzt eine solche Raterei nicht das wirkliche Denken: Im vorliegenden Problem beschreiben $\begin{align} A_1\cap A_2\cap A_3 \end{align}$ $\begin{align} A_1\cap A_2\cap A_4 \end{align}$ $\begin{align} A_1\cap A_3\cap A_4 \end{align}$ $\begin{align} A_2\cap A_3\cap A_4 \end{align}$ $\begin{align} A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4 \end{align}$ alle dieselbe Menge: Nämlich dass alle vier Wände mit derselben Farbe gestrichen werden, d.h. es ist jeweils $\begin{align} \left\| \ldots \right\| = 5 \end{align}$ .
13.12.2014, 22:01	Muffi568	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dies in diesem Fall so weil der Exponent 0 ist? Praktisch wenn Exponent = 0 dann Exponent = 1. Oder gilt das immer so dass die letzten beiden Gruppen den selben Exponenten haben?
13.12.2014, 22:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was dein Gerede über irgendwelche Exponenten soll. Nochmal wiederholt: Wieviel Möglichkeiten gibt es, wenn alle Wände dieselbe Farbe haben sollen?
13.12.2014, 22:21	Muffi568	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mein. Alle Möglichkeiten ohne Abzug sind $\begin{eqnarray} 5^4 \end{eqnarray}$ Für jede Wand zieht man $\begin{eqnarray} 5^3 \end{eqnarray}$ ab Bei den Zweier Päärchen addiert man dann von allen Möglichkeiten für jedes zweier Päärchen $\begin{eqnarray} 5^2 \end{eqnarray}$ wieder drauf Bei den Dreier Päärchen zieht man dann wieder für jedes Päärchen $\begin{eqnarray} 5^1 \end{eqnarray}$ ab Dann hat man noch das vierer Päärchen wenn man der Logik folgen würden, müsste jetzt $\begin{eqnarray} 5^0 \end{eqnarray}$ hinzuaddieren
13.12.2014, 22:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann da noch ewig drüber rumphilosophieren, und über Exponenten sinnieren... Fakt ist: Beim Viererdurchschnitt kommt inhaltlich nix neues dazu, da bereits im Dreierdurchschnitt feststeht, dass alle vier Wände dieselbe Farbe haben müssen, z.B.: Wenn Farbe1=Farbe2, Farbe2=Farbe3 sowie Farbe3=Farbe4 ist, dann ist doch automatisch Farbe4=Farbe1, ob man letzteres als Bedingung noch mit dazu nimmt oder nicht. Jetzt ist diese kleine Maus aber ordentlich zum Elefanten gemacht worden - es reicht jetzt!!! $\begin{align} 5^0 \end{align}$ hat hier nix zu suchen, deine sogenannte "Logik" ist keine Logik, sondern einfach nur fehlgeleitete Heuristik.

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