Invertierbare Matrizen R, S finden, sodass SAR = ... ergibt

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11.12.2014, 14:27	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbare Matrizen R, S finden, sodass SAR = ... ergibt Meine Frage: Hallo, ich soll zwei invertierbare Matrizen R und S finden, sodass SAR eine Matrix der folgenden Gestalt ist: 1(k) 0(k, 5-k) 0(4-k,k) 0(4-k,5-k) 1(k) ist hierbei die k-dimensionale Einheitsmatrix (k aus [1,...,5]). Der Rest sind Nullmatrizen. Die Matrix A lautet hierbei: 1 3 2 5 4 1 1 3 2 5 3 3 9 14 -5 2 2 6 6 5 Meine Ideen: Diese Matrix A muss doch zunächst in Blockform überführt werden, dass heißt, eine Gestalt wie die Produktmatrix SAR annehmen, oder? Unser Dozent meinte, man müsste die entstehende Produktmatrix in den oberen linken Quadranten, je zwei einheitsmatrizen rechts neben und unter dieser Produktmatrix, sowie im unteren rechten Quadranten die Matrix A mit festen Werten einer daraus insgesamt großen Matrix setzen (also insgesamt eine 8 x 10-Matrix). durch geeignete Zeilen- und Spaltenoperationen, also unter Verwendung des gauß-jordan-Verfahren, müssten aus den Einheitsmatrizen die Matrizen S und R werden, oder liege ich falsch??? Vielen Dank für die hilfe!!!
12.12.2014, 17:55	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen? Ansonsten bleibe ich bei der Vermutung, dass mein Lösungsansatz richtig ist.
12.12.2014, 18:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde deinen Aufschrieb schwer verständlich. Was ich mir zusammenreime, führt mich zu folgendem Ansatz: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}A&I_4\\I_5 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei rechts unten die 5x4-Nullmatrix steht. Jetzt werden auf diese Matrix Zeilen- und Spaltenumformungen angewandt, die A in die gewünschte Form bringen. Aus $\begin{eqnarray} I_4 \end{eqnarray}$ wird dann $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , aus $\begin{eqnarray} I_5 \end{eqnarray}$ wird dann $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$
12.12.2014, 19:27	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Matheteufel, zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort. Also muss die Matrix A aus dieser Gesamtmatrix in die Form von SAR überführt werden, verstehe ich das richtig?? Viele Grüße Widderchen
12.12.2014, 20:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
12.12.2014, 20:48	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe es geschafft, die Matrix A in die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 16 & 40 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu überführen. Wie eliminiere ich nun die Einträge 16 und 40 oder habe ich einen Fehler gemacht?? Ich hatte zunächst Zeilenoperationen, dann Spaltenoperationen ausgeführt. Grüße Widderchen
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12.12.2014, 20:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht Spalten drei und vier vertauschen? Anschließend in Spalte 5 Nullen erzeugen
12.12.2014, 20:57	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, darf ich zwei Spalten dieser Matrix vertauschen oder ist diese Operationen nicht erlaubt??? Dann könnte ich nämlich entweder den Eintrag 16 oder 40 durch Spaltenoperation eliminieren und die Spalten anschließend tauschen. Dann müsste ich durch geeignete Skalarmultiplikation eine 3 x 3 - Einheits-Matrix in SAR erhalten. Ist das korrekt???
12.12.2014, 20:58	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok, danke!!! XD
12.12.2014, 21:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so geht das 3x3-Einheitsmatrix ist auch korrekt. Also ist k=3 und das ist gerade der Rang der gegebenen Matrix.
12.12.2014, 21:19	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, dass ich dich wieder störe, Matheteufel, aber wenn ich doch durch die Skalare -2 und 16 teile, muss ich doch auch diejenige Zeile und Spalte, auf der sich diese Skalare befinden, durch -2 bzw. 16 teilen??? Ich bin verwirrt!
12.12.2014, 21:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst dich nur entscheiden, ob du es als Zeilen- oder als Spaltenumformung machen willst. Je nachdem wirkt es sich auf die Matrix S oder R aus.
12.12.2014, 21:42	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habe es als Zeilenoperation durch Skalarmultiplikation ausgeführt. Damit hat sich die Struktur von S verändert. Vielen, vielen Dank nochmal!!!

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