Matrizen mit identischer Determinante |
| 12.12.2014, 11:01 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrizen mit identischer Determinante hallo, ich soll zeigen, dass die n x n - Matrizen A und B mit den koeffizienten a(ij) und b(ij) = (-1)^(i+j)*a(ij) dieselbe determinante haben. Meine Ideen: Ich habe den Laplaceschen Entwicklungssatz zur Berechnung von det B angewandt und dabei b(ij) durch den oben genannten Ausdruck ersetzt. dabei wird ein Vorzeichen quadriert und wird 1, sodass da weiterhin (-1)^(i+j) steht, allerdings steht da nun det B(i,j), wobei B(i, j) die Matrix ist, die durch entfernen der i-ten Zeile und j-ten spalte entsteht. Wie zeige ich nun, dass det B(i,j) = det A(i,j), wobei A(i,j) analog wie B(i,j) definiert ist??? ich vermute, dass ich hier einen falschen Ansatz verwende. Allerdings fällt mir kein weiterer ansatz dazu ein. Über hilfe wäre ich sehr dankbar!!!! widderchen |
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| 12.12.2014, 13:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hinweis 1: Die Matrix B entsteht aus der Matrix A, indem man jede ungerade Zeile mit -1 multipliziert und danach jede ungerade Spalte mit -1 multipliziert. Hinweis 2: Die Determinante ist n-fach linear in Zeilen und Spalten. |
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| 13.12.2014, 23:57 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Elvis, wenn ich die Matrix A betrachte und zunächst alle ungeraden Zeilen mit (-1) multipliziere, dann verändert sich die Determinante nicht, da diese ja unter Skalarmultiplikation invariant bleibt bzw. linear bzgl. Skalarmultiplikation ist. Eine zusätzliche Skalarmultiplikation der ungeraden Spalten ändert die Determinante ebenfalls nicht (aus demselben Argument wie zuvor). Damit ist allerdings die Matrix B konstruiert, also gilt det A = det B. Ist das die Beweisidee??? Muss das noch konkret ausgeführt werden oder genügen die obigen Formulierungen schon??? Und vielen Dank für die Hinweise!!! 
Grüße Widderchen |
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| 14.12.2014, 12:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schön, dass du mitdenkst, aber in deinem Denken ist ein Fehler. Die Determinante ist linear in jeder Zeile und Spalte, das heißt sie ändert sich um den Faktor -1, wenn man eine Zeile oder Spalte mit -1 multipliziert. Meinen 1. Hinweis musst du plausibel machen, z.B kannst du ein Vorzeichenschema für 1x1,2x2,3x3,4x4,5x5-Matrizen aufschreiben, dann erkennst du, warum das aus der Matrix A eine Matrix B macht. Meinen 2. Hinweis habe ich oben noch einmal erläutert. Jetzt musst du nur noch daraus schließen, dass det B= det A gilt. (Auch das erkennt man leicht an den ersten 5 Schemata). |
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| 14.12.2014, 13:03 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok Hinweis 1 ist mir klar. Der Vorzeichenwechsel betrifft nur die Einträge, deren Summe ihrer Indizes ungerade ist. Die Hauptdiagonaleinträge besitzen in B immer ein positives Vorzeichen. Wenn ich bei der Matrix A alle ungeraden Zeilen mit -1 multipliziere, dann ändert sich die Determinante für n gerade um den Faktor (-1)*(-1)=1 , da die Anzahl der ungeraden Zeilen für gerade n gerade ist. Dasselbe Argument gilt dann auch für die ungeraden Spalten von A, wobei n gerade. Die Determinante der daraus resultierenden Matrix ist dann 1 und diese Matrix ist nach Konstruktion B. Für den Fall n ungerade geht man analog vor: Hier wird letztlich das Produkt (-1)*(-1)=1 gebildet, sodass det B = det A gilt für ungerade n. Damit ist die Behauptung bewiesen. Ist das korrekt??? Grüße Widderchen |
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| 14.12.2014, 13:05 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Halt, die Determinante ist selbstverständlich nicht 1, sondern das 1-fache von det A , also identisch det A. |
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| 14.12.2014, 13:55 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Komische Begründung, ist nämlich falsch. Die Zahl der Zeilen mit ungeraden Nummern (das war ja wohl mit "ungeraden Zeilen" gemeint) ist gerade oder ungerade, auch wenn n gerade ist. Beispiel: n=4 oder n=6. Tipp: Es gibt genauso viele "ungerade Zeilen" wie "ungerade Spalten". |
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| 14.12.2014, 13:59 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so habe ich es gemeint, danke für die Korrektur, RavenOnJ. |
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| 14.12.2014, 14:01 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber du hast schon gelesen, dass deine Begründung falsch ist, oder? |
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| 14.12.2014, 15:50 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt verstehe ich gar nichts mehr. |
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| 14.12.2014, 16:10 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lies dir deine Begründung nochmal genau durch, dann solltest du sehen, wo der Fehler ist. Es sind mindestens sprachliche Ungenauigkeiten, die das Ganze aber leider falsch machen. Wenn du eine Zeile der Matrix mit -1 multiplizierst, ändert die Determinante für die so geänderte Matrix das Vorzeichen. Machst du das k-mal für k Zeilen, dann führt das also zu einem Faktor . Dabei kann k gerade oder ungerade sein. Jetzt hat aber - wie schon erwähnt - die Matrix genauso viele ungeradzahlige Zeilen wie Spalten. Was folgt daraus? |
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| 14.12.2014, 16:34 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bedeutet, dass das Produkt (-1)^k*(-1)^k = (-1)^(2k) = 1 ergibt unabhängig davon, ob k gerade oder ungerade. Die Summe gerader Exponenten ist gerade. Die summe ungerader Exponenten ist auch gerade. |
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| 14.12.2014, 16:50 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. |
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