Teilmengen einer lin. unabh. Menge wieder lin. unabh. ?

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Joefish Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen einer lin. unabh. Menge wieder lin. unabh. ?
Hallo,

mir geht es um folgendes:
Sei eine linear unabhaengige Familie. Sind dann alle Familien mit einer Indexmenge wieder linear unabhaengig?

Gegeben ist ja, dass fuer .
Koennte ich dann sagen, dass alle ebenfalls linear unabhaengig sind, da
ebenfalls nur die "Trivial-Loesung" enthaelt, da lin. unabh. gegeben.

In den Buechern, die ich mir bisher angesehen habe, wurde dies als trivial abgehakt oder sehr umgangssprachlich beschrieben.
Ich hatte das auch als trivial abgehakt, bis ich darueber beim Austauschsatz von Steinitz drueber gestolpert bin und es zeigen wollte. verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen einer lin. unabh. Menge wieder lin. unabh. ?
Genau. Wenn du eine Linearkombination in der kleineren Menge findest, kannst du die mit Nullen auffüllen um eine Linearkombination in der großen Menge zu finden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen einer lin. unabh. Menge wieder lin. unabh. ?
Zitat:
Original von Joefish
Gegeben ist ja, dass fuer .(

Sollte dein unendlich sein, vielleicht gar überabzählbar - was in der Aufgabenstellung nicht ausgeschlossen ist - so ist dies durchaus nicht gegeben. Schau dir die Definition der linearen Unabhängigkeit unter diesem Aspekt doch noch mal genau an.
Joefish Auf diesen Beitrag antworten »

Wow.. Danke fuer die schnellen Antworten.

@IfindU:
Schoen zu hoeren, dass etwas auf Anhieb gepasst hat smile

@Hal:
Huh... Daran dachte ich nicht,da wir den unendlichen Fall bisher immer ausgeschlossen hatten.
Ich hab die Definition nochmal nachgeschlagen und eine beliebige Familie heisst linear unabhaengig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhaengig ist.
Also ergaebe sich meine Frage schon aus der allgemeineren Definition, da lin. unabh.?
Hm.. Seien dann waere also ein nicht endlich erzeugter Untervektorraum...
Ah ich weiss darueber noch zu wenig. Ich wuerde nur mutmassen und mir waere das alles zu wage.
Aber danke, dass du mir die Augen noch etwas weiter geoffnet hast smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joefish
Ich hab die Definition nochmal nachgeschlagen und eine beliebige Familie heisst linear unabhaengig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhaengig ist.

Genau. Und im Lichte dieser Definition hier basiert dein zu erbringender Beweis im wesentlichen darauf, dass jede endliche Teilfamilie von auch eine endliche Teilfamilie von ist.

EDIT: Tippfehler...
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