binomische Formel - quadratische Gleichung

12.12.2014, 21:30

knaerpelchen

binomische Formel - quadratische Gleichung

Meine Frage:
Hallo unglücklich

hier meine Aufgabe:

Y= x2 + xp + q Originalformel

Eine Beispielaufgabe: y = x² - 8x + 5 Das in eine binomische Formel wandeln

Meine Ideen:
ich habe keine Idee, bei den binomischen Formeln sind doch nur 2 Variablen, a und b ?? oder ??

12.12.2014, 21:34

Mathema

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Gehe ich recht in der Annahme, dass du die quadratische Funktion in allgemeiner Form in die Scheitelpunktform umwandeln möchtest?

12.12.2014, 22:31

knaerpelchen

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Leider sollen wir nicht ausrechnen sondern es in eine binomische Gleichung umwandeln unglücklich

Ich habe nun auch mal probiert und bin auf

(x-4)² - 11

gekommen verwirrt

12.12.2014, 22:39

Mathema

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$\begin{eqnarray*} y = x^2 - 8x + 5 \end{eqnarray*}$

Was willst du hier ausrechnen? verwirrt

So wie es momentan da steht, ist es eine quadratische Funktion in allgemeiner Form. Und diese kann man nun in die sogenannte Scheitelpunktform umwandeln:

$\begin{eqnarray*} y = (x-4)^2 - 11 \end{eqnarray*}$

Und die würde dann so aussehen. Passt doch. Augenzwinkern

12.12.2014, 22:43

knaerpelchen

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ahhhh, das heißt heißt scheitelform smile

coool

hm, aber mathelehrerin hat gesagt, in binomische gleichung umwandeln unglücklich

12.12.2014, 22:44

knaerpelchen

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aber es sieht doch schon sehr binomisch aus, gelle smile

und wir kann man das ausrechnen ? ich habe nur probiert wie es passt unglücklich

12.12.2014, 22:50

Mathema

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Der Ausdruck "binomische Gleichung" ist mir leider fremd. Hast du nicht eine genaue Aufgabenstellung zu der Aufgabe? Was macht ihr denn gerade? Seid ihr gerade mit Parabeln angefangen, oder geht es darum quadratische Gleichungen zu lösen? Dann müsstet ihr euch aber eigentlich schon mit Parabeln beschäftigt haben und dir der Name "Scheitelpunktform" bekannt sein.

12.12.2014, 22:54

knaerpelchen

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naja, binomische Formel hat sie gesagt und wir haben Anfang der Woche mit quadratischen Gleichungen angefangen.

Können wir morgen weiter machen, ich bin todmüde und möchte ins Bett Augenzwinkern

12.12.2014, 22:56

Mathema

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Dann geht´s also doch Richtung "quadratischer Ergänzung" einfach. Na klar, wenn nicht mir, dann bestimmt mit einem anderen Helfer.

Gute Nacht.

Wink

13.12.2014, 10:57

Mathema

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Zitat:

und wir kann man das ausrechnen ?

Guten Morgen!

Diese Frage hatte ich gestern ganz übersehen. Man macht folgendes:

$\begin{eqnarray*} y = x^2 - 8x + 5 \end{eqnarray*}$

Nun nimmt man die Hälfte vom Koeffizienten von x (also die Zahl vor dem x) und quadriert sie. Das Ergebnis wird nun einmal addiert und dann gleich wieder subtrahiert. Also:

$\begin{eqnarray*} y = x^2 - 8x +16 - 16 + 5 \end{eqnarray*}$

Jetzt wird das Binom gebildet. Dafür nimmt man dann nur die Hälfte und setzt sie in das Klammerquadrat. Ist der Koeffizient von x positiv, bilden wir die 1. Binomische Formel, ist er negativ, bilden wir die 2. Binomische Formel. Also:

$\begin{eqnarray*} y = (x - 4)^2 - 16 + 5 \end{eqnarray*}$

Jetzt hinten nur noch ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} y = (x - 4)^2 - 11 \end{eqnarray*}$

Voilà...

13.12.2014, 11:58

knaerpelchen

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hm

also wenn ich jetzt die Aufgabe habe

y = 2x² - 12x + 13

wäre dann meine Lösung

y = 2(x²-6x) + 13

y = 2(x²-6x) + 9 - 9 + 13

y = 2(x-3)² -9 + 13

y = 2(x-3)² + 4

und die Scheitelpunkte wären dann -3 / 4

verwirrt

13.12.2014, 12:02

AMUNO

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Wie schon oben erwähnt,
die richtige Lösung lautet:
$\begin{eqnarray*} y = (x - 4)^2 - 11 \end{eqnarray*}$

13.12.2014, 12:04

knaerpelchen

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aber ich habe doch eine andere Aufgabe genommen , nur so weiß ich doch, ob ich es verstanden habe traurig

13.12.2014, 12:06

Mathema

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Nein - hat deine Parabel noch einen Streckfaktor musst du diesen aus dem ganzen Term ausklammern, oder (wie ich es immer mache) dividieren:

$\begin{eqnarray*} y = 2x^2 - 12x + 13 \end{eqnarray*}$

Nun dividieren wir durch den Streckfaktor:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} = x^2 - 6x + 6,5 \end{eqnarray*}$

Jetzt die geschickte Null addieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} = x^2 - 6x +9 - 9 + 6,5 \end{eqnarray*}$

Binom herstellen und hinten rechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} = (x-3)^2 - 2,5 \end{eqnarray*}$

Und nun den Streckfaktor wieder aus dem Nenner multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} y = 2 (x-3)^2 - 5 \end{eqnarray*}$

Der Scheitelpunkt liegt also bei (3 | -5). Das Vorzeichen bei der x-Koordinate ändert sich.

13.12.2014, 12:10

knaerpelchen

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ahhh, ich glaube, ich habe es begriffen Tanzen

kannst du mich nochmal mit irgeneiner Aufgabe testen ??? bitte, bitte

13.12.2014, 12:11

knaerpelchen

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und bei der ursprünglichen Aufgabe sind die Scheitelpunkte dann 4 und -11, gelle Augenzwinkern

13.12.2014, 12:15

Mathema

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Eine Parabel hat immer einen Scheitelpunkt. Aber der liegt bei (4 | -11).

Gut - dann wandle mal in die SPF-Form um und gib die Koordinaten des Schteitelpunktes an.

$\begin{eqnarray*} y = -0,1x^2+0,4x+1,2 \end{eqnarray*}$

13.12.2014, 12:32

knaerpelchen

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oh, ich versuche es

y = -0,1x² + 0,4 x + 1,2 | : (-0,1)

y/-0,1 = x² - 4x - 12

y/-0,1 = x² - 4x - 4 + 4 - 12

y/-0,1 = (x-2)² - 12 | * (-0,1)

y = - 0,1 ( x-2)² + 1,2

Scheitelpunkt ist (2 | 1,2)

13.12.2014, 12:39

Mathema

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Das sieht doch schon nicht so schlecht aus - du hast nur zwei kleine Fehler:

y/-0,1 = x² - 4x - 4 + 4 - 12

Erst wird addiert und dann subtrahiert (also + 4 - 4)

y/-0,1 = (x-2)² - 12 | * (-0,1)

Hier hast du vergessen zu rechnen.

Also - nun noch einmal richtig.

13.12.2014, 12:52

knaerpelchen

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hm, noch eine Frage

wenn ich jetzt die Zahl vor dem x nehme in der ursprünglichen Gleichung muss ich minus nehmen und in der Klammer ist es positiv verwirrt

13.12.2014, 12:58

knaerpelchen

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mein Tip (leider nur ein Tip) für die Lösung wäre

y / -0,1 = (x-2)² - 8

warum ist es wichtig ob man zuerst addiert oder subrahiert? es kommt doch immer null raus verwirrt

13.12.2014, 12:59

Mathema

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Hinten braucht du den positiven Teil deiner geschickten Null. Es ist ja:

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2 = x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

Die binomische Formeln lauten ja gerade:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Also immer erst addieren und dann subtrahieren, da du gerade den positiven Teil deiner Null für dein Binom brauchst.

edit: Bei deinem Tipp hast du wieder erst subtrahiert und dann addiert.

13.12.2014, 13:18

knaerpelchen

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also nochmal geschockt

y = -0,1x² + 0,4x + 1,2 | : (-0,1)

y / -0,1 = x² - 4x - 12

y / -0,1 = x² - 4 x + 4 - 4 - 12

y / -0,1 = (x-2)² - 16 | * (-0,1)

y = -0,1 ( x-2 )² + 1,6

L = (2 | 1,6)

oder

y / -0,1 = (x-2)² - 8 | * (-0,1)

y = -0,1 (x-2)² + 0,8

L = (2 | 8)

verwirrt

13.12.2014, 13:20

Mathema

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Zitat:

Original von knaerpelchen
also nochmal geschockt

y = -0,1x² + 0,4x + 1,2 | : (-0,1)

y / -0,1 = x² - 4x - 12

y / -0,1 = x² - 4 x + 4 - 4 - 12

y / -0,1 = (x-2)² - 16 | * (-0,1)

y = -0,1 ( x-2 )² + 1,6

S (2 | 1,6)

Genau so!

13.12.2014, 13:22

knaerpelchen

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13.12.2014, 13:24

Mathema

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Gern geschehen - ich hoffe du hast es nun verstanden.

13.12.2014, 13:29

knaerpelchen

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noch eine ???

13.12.2014, 13:31

Mathema

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Nun gut - der Abschlusstest, dann muss ich selber an den Schreibtisch.

$\begin{eqnarray*} y= -5x^2+16x+1,8 \end{eqnarray*}$

13.12.2014, 13:41

knaerpelchen

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es sieht so komisch aus unglücklich

y = -5 x² + 16 x + 1,8 | : (-5)

y / -5 = x² - 3,2 x - 0,36

y / -5 = x² - 3,2 x + 2,56 - 2,56 - 0,36

y / -5 = (x - 1,6)² - 2,92 | * (-5)

y = -5 (x-1,6)² + 14,6

L = (1,6 | 14,6 )

hm ??

13.12.2014, 14:10

Mathema

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Nun - es mag vll komisch aussehen (wieso überhaupt? ), aber ich sehe schon, du brauchst meine Hilfe nicht mehr.

Alles richtig! (Außer das ein Punkt kein Gleichheitszeichen besitzt!)

Freude

13.12.2014, 14:17

knaerpelchen

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oh, das Gleichheitszeichen lasse ich in Zukunft weg Mit Zunge

dankeschön Wink

13.12.2014, 14:18

Mathema

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Gern geschehen!

Schönes Wochenende dir.

Wink

30.12.2014, 10:14

knaerpelchen

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Guten Morgen Wink

es ist mir schon peinlich, aber ich bin mir schon wieder gar nicht sicher (ich war krank und nicht in der Schule)

Aufgabe: y=x²+10x+21

meine Lösung

y = x2 + 10x +25 -25 +21

y = (x+5)² +25+21

y = (x+5)² +46
Scheitelpunkt: (-5 / 46)

verwirrt

Wenn falsch, warum ????

30.12.2014, 10:27

Hippocampus

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Zitat:

Original von knaerpelchen

y = x2 + 10x +25 -25 +21

y = (x+5)² +25+21

Du solltest dir noch einmal die Vorzeichen beim Anwenden der bin. Formel anschauen Wink

30.12.2014, 10:31

knaerpelchen

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also heißt es

y = (x-5)² - 25 + 21 aber warum ???

30.12.2014, 10:33

Hippocampus

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<Noch mal die Vorzeichen anschauen smile

es war nur eins falsch

30.12.2014, 10:36

knaerpelchen

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ja, bei der -5 habe ich mich nur verschrieben, nochmal

y = (x+5)² -25 + 21

so, und ich dachte immer, dass ich das Vorzeichen von dem 2. Term nehmen muss (also von +10x)

30.12.2014, 11:15

Hippocampus

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Nein, das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} 10x \end{eqnarray*}$ spielt dabei keine Rolle.

$\begin{eqnarray*} x^{2}+2ax+a^{2}-b=(x+a)^{2}-b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ bleibt $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$

30.12.2014, 11:18

knaerpelchen

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das habe ich jetzt gar nicht verstanden unglücklich

30.12.2014, 11:19

knaerpelchen

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wann muss ich addieren und wann muss ich subrahieren ????

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