Polynomraum

13.12.2014, 12:15	blueser	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomraum Meine Frage: Ich habe hier folgende Aufgabenstellung: Sei L : V ? W eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorraumen V und W. Weiter seien v1, . . . , vn ? V , n ? N \ {0} endlich viele Vektoren in V . Zeigen Sie: {L(vi) : i = 1, . . . , n} ist linear unabhangig ? {vi: i = 1, . . . , n} ist linear unabhangig. Meine Ideen: Sollten die Vektoren in V linear unabhängig sein sind die Vektoren in W zwangsweise auch linear unabhängig da die beiden Vektorräume lineare Abbildung von einander sind. jedoch kann ich mir dem Term {L(vi) : i = 1, . . . , n} nichts anfangen da ich diesen nicht mir der Aufgabe in Zusammenhang bringen kann. Die Frage nun wie kann ich zeigen das {L(vi) : i = 1, . . . , n} linear unabhängig ist? Grüße
13.12.2014, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
L:V-->W ist eine lineare Abbildung. v1,...,vn aus V, also L(v1),...,L(vn) aus W. Die einzig sinnvolle Aussage in diesem Zusammenhang scheint zu sein " L(v1),...,L(vn) linear unabhängig, dann sind v1,...,vn linear unabhängig " . (Die Umkehrung ist offensichtlich falsch für L=0.)
13.12.2014, 13:18	_blueser_	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das jetzt Herauslesen konnte sind die Vektoren {L(vi) : i = 1, . . . , n} die von W und die Vektoren {vi: i = 1, . . . , n} die von V Das heißt im Endeffekt ich muss zeigen das die Vektoren die in W liegen linear unabhängig sind um daraus zu folgern ist das auch die Vektoren die in V sind linear unabhängig sein müssen {L(vi) : i = 1, . . . , n} ist linear unabhängig => {vi: i = 1, . . . , n} ist linear unabhängig. Wie zeige ich aber nun das {L(vi) : i = 1, . . . , n} linear unabhängig ist ? Grüße
13.12.2014, 14:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zeigst du nicht, das ist die Voraussetzung.
13.12.2014, 14:54	_blueser_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo dann war ich auf dem falschen Dampfer, dh. also ich muss für {vi: i = 1, . . . , n} zeigen das diese Vektoren Linear unabhängig sind. und als Voraussetzung lege ich fest das diese {L(vi) : i = 1, . . . , n} schon linear abhängig sind. Grüße
13.12.2014, 17:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich nehme an, dass du das zeigen willst. Aus dem was du geschrieben hast, wird man ja nicht schlau. So langsam solltest du mal mit einem Beweis rüberkommen. Mein Beweis steht in einer Zeile da.
Anzeige

14.12.2014, 20:42	_blueser_	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ich habe hier den Beweis als Widerspruch durchgezogen, ich denke das hast du mit deinem einzeiler gemeint. Annahme (v1,…,vn) sind linear abhängig. So lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination der andern schreiben. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei das v1. (Man ordnet sie gegebenenfalls neu an) Also v1 = av2 + bv3 + cv4 … + mvn mit (a,b,c,…m) Element IRn-1 daher ist f(v1) = f(av2 + bv3 + cv4 … + mvn ) Nun ist f nach Voraussetzung eine lineare Abbildung. Deshalb gilt f(v1)= f(av2 + bv3 + cv4 … + nvn ) = af(v2) + bf(v3) + cf(v4) … + mf(vn ) Nun steht hier aber f(v1) als eine Linearkombination von f(v2), f(v3)…f(vn) Folge: Die Annahme ist falsch. v1,…vn sind linear unabhängig.
15.12.2014, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Hier ist mein Einzeiler: $\begin{eqnarray} \{v_i:i=1,...,n\} l.a.\Rightarrow o.B.d.A.:v_1=\sum_{i=2}^n \alpha_i v_i \Rightarrow f(v_1)=\sum_{i=2}^n \alpha_i f(v_i) \Rightarrow \{f(v_i):i=1,...,n\} l.a. \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »