Determinante einer Matrix mit vielen Einsen bestimmen (Induktion)

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer Matrix mit vielen Einsen bestimmen (Induktion)
Meine Frage:
Hallo,

ich soll durch vollständige Induktion gleichzeitig die Formeln

det A = (x-1)^(n-1)

det B = (x-1)^(n-1)*(x+n-1) beweisen, wobei


1 1 1 ... 1
1 x 1 ... 1
1 1 x ... 1 = A
. .
. .
1 1 1 ... x


x 1 1 ... 1
1 x 1 ... 1
1 1 x ... 1 = B
. .
. .
1 1 1 ... x

Beide Matrizen sind n x n Matrizen.


Meine Ideen:
Die jeweiligen Induktionsanfänge habe ich bereits bewiesen und sind trivial.
Allerdings bin ich mir beim Induktionsschritt nicht sicher. Die Determinante bleibt unter sukzessiver Zeilenoperation doch invariant, richtig? Das bedeutet dann doch für beide Matrizen, dass ich sie in Zeilenstufenform überführen kann. Die Determinante der daraus resultierenden Dreiecksmatrizen ist dann doch das Produkt der Hauptdiagonaleinträge, oder liege ich falsch??? Für die erste Matrix A erkennt man dies dann auch sofort, aber was hat dies konkret mit vollständiger Induktion zu tun, bzw. wo kann ich dann meine Induktionsvoraussetzung anwenden, wenn ich sie im Grunde gar nicht benötige???
Ich hatte nämlich versucht, direkt den Laplaceschen Entwicklungssatz anzuwenden, allerdings nehmen einige Untermatrizen dann eine "versetzte" Struktur an, sodass ich die Determinante dieser Untermatrizen kaum ermitteln kann.

Ich hoffe, ihr könnt mir bei den jeweiligen Induktionsschritten weiterhelfen!!

Viele Grüße
Widderchen
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Teil a)
Wenn ich den Laplaceschen Entwicklungssatz anwende, kann ich dann die Summe von i=1 bis n+1
in die Summe von i=1 bis n und den (n+1)ten Summanden zerlegen.

Dann wende ich die Ind. voraussetzung an und erhalte doch:

(x-1)^(n-1) + (-1)^((n+1)+j) det A(n+1,j) , oder???

dabei ist A(n+1,j) die Matrix, die ich durch Streichen der n+1 - ten Zeile und j - ten Spalte erhalte. Irgendwie bring mich das nicht weiter.


Widderchen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei würde ich gar keine Induktion anwenden, sondern zunächst Zeile 1 von allen Folgezeilen subtrahieren (was ja eine determinantenerhaltende Operation ist). Dann entsteht direkt eine Dreiecksmatrix, deren Determinante bekanntlich das Produkt der Hauptdiagonalenelemente ist.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann beweise ich Aussage A ohne vollständige Induktion, führe determinanteninvariante zeilenoperationen durch. Dabei verändern sich alle n Zeilen unter der Matrix derart, dass ich die (n+1)x (n+1) Matrix in Zeilenstufenform überführe, sprich eine obere Dreiecksmatrix erhalte. Auf den Hauptdiagonalen befinden sich dann die Einträge (x-1) . Der oberste hauptdiagnoaleintrag ist 1, da die erste Operationszeile unverändert geblieben ist.
Die Determinante ist dann das Produkt der Hauptdiagonaleinträge:

det A = (x-1)*...*(x-1) (n maliges Produkt) = (x-1)^n . Fertig!!


Soll ich das mit Matrix B dann genauso lösen????

Und vielen Dank, HAL.

Widderchen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Soll ich das mit Matrix B dann genauso lösen????

Schön wär's, aber dort geht es nicht so einfach (wie du schnell sehen wirst). Hier kannst du dann vielleicht doch den Entwicklungssatz nehmen - und das A-Ergebnis.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt der Laplacesche Entwicklungssatz (entwickle nach der j-ten Spalte):




Ich vermute, das ist totaler Unsinn, den ich da aufgeschrieben habe!!! Außerdem käme ich mit diesem Ansatz nicht weiter, da diese Untermatrix A(n+1,j) für ein festes j eine für die weitere Rechnung ungeeignete Struktur annehmen würde.
Außerdem weiß ich nicht, wie ich Aussage a) da mit einbeziehen soll. Vielleicht kann ich die Matrix derart durch Zeilenoperationen umwandeln, sodass sie eine geeignete Struktur annehmen könnte, aber du meintest, das funktioniere nicht!
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal würde ich eine konkrete Spalte wählen, nach der entwickelt wird - der Übersicht wegen am besten eine am Rand, d.h. die erste oder n-te Spalte.

Zitat:
Original von Widderchen
Außerdem käme ich mit diesem Ansatz nicht weiter, da diese Untermatrix A(n+1,j) für ein festes j eine für die weitere Rechnung ungeeignete Struktur annehmen würde.

Kann man so nicht sagen: Mit geeigneten Spaltenvertauschungen kann man das ganze auf Struktur bzw. bringen.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

ok, also wenn die oben von mir notierte Gleichung stimmt, muss ich lediglich ein j wählen. Ich wähle j = n+1.

Dann ist der erste Summand nach meiner Induktionsvorauusetung gerade die determinante der nxn-matrix, also (x-1)^(n-1) * (x+n-1)

Der zweite Summand ist dann: (-1)^(2n+2) * a(n+1,n+1) * det A(n+1,n+1)

= x * det A(n+1,n+1) .

A(n+1,n+1) ist hierbei die Matrix, die ich erhalte, indem ich die n+1 - te Zeile und Spalte meiner n+1 x n+1 Matrix entferne. Dann bekomme ich aber erneut

.... = x * (x-1)^(n-1) * (x+n-1) (???)

Nein, nein, das führt mich nicht zu dem gewünschten Ergebnis! Was mache ich nur falsch??
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, reden wir über eine -Matrix, die wir auf -Matrizen zurückführen wollen (im Unterschied zu meinem letzten Beitrag, wo ich die -Matrix auf -Matrizen zurückführen wollte).

Nun willst du bei nach der letzten, -ten Spalte entwickeln. Streichen wir also diese Spalte:

x 1 1 1 ... 1
1 x 1 1 ... 1
1 1 x 1 ... 1
1 1 1 x ... 1
. . .
. . .
1 1 1 1 ... x
1 1 1 1 ... 1

Wenn du jetzt vom ersten Summanden redest, meinst du dann den bzgl. Streichen der ersten Zeile? Da bleibt bei mir aber Matrix

1 x 1 1 ... 1
1 1 x 1 ... 1
1 1 1 x ... 1
. . .
. . .
1 1 1 1 ... x
1 1 1 1 ... 1

übrig. Inwiefern kommst du da auf ? verwirrt


Also ich würde da zunächst -te mit -ter Zeile vertauschen, danach -te mit -ter Zeile vertauschen, usw. ... schlussendlich zweite mit erster Zeile vertauschen. Nach diesen (n-1) Vertauschungen entsteht Matrix

1 1 1 1 ... 1
1 x 1 1 ... 1
1 1 x 1 ... 1
1 1 1 x ... 1
. . .
. . .
1 1 1 1 ... x

das ist . Außerdem kommt vom Laplaceschen Entwicklungssatz her noch der Faktor hinzu, insgesamt geht also Summand



in die Summe ein.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!!

Mit dem ersten Summanden meinte ich eigentlich die summe von 1 bis n in meinem vorigen Post, die ja dann nach Ind. vora. gerade (x-1)^(n-1) * (x+n-1) ist.

Aber offenbar habe ich da irgendetwas falsch verstanden!

Gut, wenn man die n+1 te Spalte entfernt, dann erhält man die Matrix, die du notiert hast, das versteh ich. Nun vertauschst du (n-1) mal sukzessive die zeilen dieser matrix, um diese auf die Struktur von A(n) zu bringen. daraus resultiert dann das Vorzeichen
(-1)^(n-1), da die Determinante ihr Vorzeichen mit den n-1 Vertauschungen ändert.

Wie entsteht nun der faktor (-1)^(n+1+1) ??? Das folgt doch wegen j = n+1 (die n+1 te Spalte wurde fixiert) , aber woher kommt die 1 im Exponenten ??? Das ist dann i = 1 ,also der erste Koeffizient in der entwicklungsgleichung ...

ansonsten versteh ich deine Rechnung!!

Widderchen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Wie entsteht nun der faktor (-1)^(n+1+1) ???

Die drei Fragezeichen spar dir mal lieber - LIES lieber mal gründlich die Beiträge:

Zitat:
Original von HAL 9000
Außerdem kommt vom Laplaceschen Entwicklungssatz her noch der Faktor hinzu

Das lässt eigentlich an Klarheit nichts vermissen: Spalte n+1 und Zeile 1.

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...ntwicklungssatz
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn der von HAL 9000 gewählte Ansatz zur Berechnung der Determinante von sicher der einfachste ist, geht es dennoch auch mit der vom Aufgabensteller intendierten Induktion. Ich bezeichne die Determinanten von mit . Dann gelten für die rekursiven Beziehungen





Aus ihnen folgt durch gekoppelte Induktion über beide Aussagen ohne große Rechnung das Ergebnis.

Beide Beziehungen oben gewinnt man, indem man in jeweils nach der ersten Zeile entwickelt.

Empfehlung: Nicht gleich mit allgemeinem rechnen, sondern sich die Struktur erst einmal an einem konkreten Beispiel klarmachen, etwa





Insbesondere sollte man das Augenmerk darauf richten, warum sich im Endeffekt jeweils dreimal ein Minuszeichen ergibt, was auf führt.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich habe versucht, diese Rekursionsformeln mit dem Entwicklungssatz herzuleiten. Bei der Rekursion für Beta (n+1) habe ich als ersten Summanden unmittelbar x*Beta(n) erhalten, allerdings weiß ich nicht, wie ich auf den Term n * Alpha(n) komme!

Ich benötige eigentlich nur noch den Induktionsschritt für det B(n+1) .

Ich muss gerade mit großem Entsetzen feststellen, dass ich nicht in der Lage bin einen vollständigen Induktionsbeweis durchzuführen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Bei der Rekursion für Beta (n+1) habe ich als ersten Summanden unmittelbar x*Beta(n) erhalten


... und als zweiten Schritt bekommst du und als dritten nach Vertauschung von Zeilen und als vierten nach Vertauschung von Zeilen und ...

Wie schon gesagt: Erst ein Beispiel analysieren.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ,

an den beispielen konnte ich das (leider) auch nicht erkennen. Ich habe folgendes ausprobiert:

ich habe die letzte zeile der Matrix B genommen und von dieser die erste Zeile subtrahiert. das ist eine determinanteninvariante Zeilenoperation, d.h. die determiante wird durch diese Operation nicht verändert. ich habe also

x 1 1 ... 1
1 x 1 ... 1
.
.
(1-x) 0 0 0 ... (x-1)

dann habe ich den Laplaceschen entwicklungssatz verwendet und dabei nach der letzten (also der n ten bzw. (n+1)ten) Zeile) entwickelt. Da unten nun fast eine Nullzeile vorliegt, ist die determinante von B von den termen 1-x und x-1 abhängig (mit den alternierenden Vorzeichen aus dem Entwicklungssatz und den determinanten der dabei entstehenden Untermatrizen).
Dann bekomme ich doch:

det B = (1-x) * (-1)^(n+1+1) * det A(1,n+1) + (x-1)*(-1)^(n+1+n+1) * det A(n+1,n+1)

allerdings habe ich Probleme bei der Berechnung von det A(1,n+1). Ich weiß jedoch, dass ich diese matrix durch Zeilenvertauschungen in die matrix An aus der ersten aufgabe überführen kann. wieviele Vertauschungen brauche ich eigentlich, um A(1,n+1) in An zu überführen??? die determinante verändert durch jeden Zeilentausch ihr Vorzeichen. Ich weiß nicht, wie viele Vertauschungen es sind!!

Und det A(n+1,n+1) ist ja gerade die detreminante der in Teil a) bewiesenen aussage, also det A(n+1,n+1) = (x-1)^n

ich muss nur noch wissen, was det A(1,n+1) ergibt, dann bin ich doch fertig.
es muss irgenwo noch ein faktor n entstehen, da ich sonst nicht auf die Behauptung komme!! Ich brauche die lösung dringend, da ich sie heute noch einreichen muss!!

Grüße
Widderchen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

: Entwicklung nach der ersten Zeile



Durch eine Nachbarvertauschung von Zeilen bekommt man im dritten Summanden die Zeile nach oben. Das bewirkt eine Vorzeichenänderung der Determinante. Durch zwei Nachbarvertauschungen von Zeilen bekommt man im vierten Summanden die Zeile nach oben. Also keine Vorzeichenänderung.



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