Zwischenwerteigenschaft

14.12.2014, 12:16

StrunzMagi

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Zwischenwerteigenschaft

Meine Frage:
Die Zwischenwerteigenschaft lautet:Sei $\begin{eqnarray*} I \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Intervall. $\begin{eqnarray*} f: I -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat die Zwischenwerteigenschaft auf I wenn für alle Intervalle $\begin{eqnarray*} [a,b] \subseteq I \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} y \in [f(a),f(b)]: \exists x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=y \end{eqnarray*}$

Nun hab ich mich gefragt wie das mit der Umkehrung ist, ob aus der Zwischenwerteigenschaft die Stetigkeit folgt.
Im Internet hab ich dazu ein Bsp gefunden:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
Die Unstetigkeit in x=0 ist klar, aber warum die Zwischenwerteigenschaft in 0 gilt ist mir nicht klar!

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} sin(1/x)=0 <=> x \in \{ \frac{1}{k \pi}| k \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} [a,b]\subseteq I \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} 0 \in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ , dann ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in [a,b]: f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} a\le 0 \le b \end{eqnarray*}$ ist wähle ich für $\begin{eqnarray*} x_0:=0 \end{eqnarray*}$
Fall 1: $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$
Fall 2: $\begin{eqnarray*} a,b<0 \end{eqnarray*}$
Hier komme ich nicht vorran, hat wer einen Rat?

14.12.2014, 12:59

RavenOnJ

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RE: Zwischenwerteigenschaft
Die einzige problematische Stelle bei dieser Funktion ist x=0, da sie nur da unstetig ist. Für Intervalle, die die Null einschließen, gibt es abgesehen von x=0 unendlich viele weitere Nullstellen. Es kommt jeder Wert in $\begin{align*} [f(a),f(b)] \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} [a,b],a\le 0 < b\lor a<0\le b \end{align*}$ sogar unendlich oft vor, nicht nur einmal. Offensichtlich kannst du nicht aus der Zwischenwerteigenschaft auf die Stetigkeit schließen.

14.12.2014, 16:15

StrunzMagi

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Hallo

Wie gesagt, nur die Stelle x=0 ist das Problem, wo ich die Zwischenwerteigenschaft der Funktion noch zeigen muss.
Aber in der Definition der Zwischenwerteigenschaft geht es doch um allgemeine Intervalle $\begin{eqnarray*} [a,b] \subseteq I, 0 \in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ . Da steht doch nirgends, dass die Intervalle $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ um die 0 liegen.

14.12.2014, 16:22

RavenOnJ

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Ja, es geht um allgemeine Intervalle. Aber für alle Intervalle, die die 0 nicht enthalten, ist die Funktion stetig.

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann versuchst du doch zu zeigen, dass aus der Zwischenwerteigenschaft Stetigkeit folgt? Das Beispiel zeigt, dass dem nicht so ist, da für diese Funktion die Zwischenwerteigenschaft zutrifft, sie aber im Punkt 0 nicht stetig ist.

14.12.2014, 16:30

RavenOnJ

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Vielleicht solltest du die Funktion mal visualisieren: Wie sieht sie um den Punkt x=0 aus? Dann wähle irgendein Intervall mit Grenzen $\begin{align*} [a,b],a\le 0 < b\lor a < 0\le b \end{align*}$ . Zeige dann, dass es für jeden Wert $\begin{align*} y\in [f(a),f(b)] \end{align*}$ einen Wert $\begin{align*} x_0\in [a,b] \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} f(x_0)=y \end{align*}$ .

14.12.2014, 16:58

StrunzMagi

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Hallo,

Vielen Dank ich hab jetzt was verstanden, was mir seit Tagen nicht klar war.
Dann hab ich das im Anfangspost ganz falsch beschrieben, wass ich noch zu zeigen habe:

In allen Intervallen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ die, die 0 nicht etnhalten ist f stetig, demnach gilt die zwischenwerteigenschaft.
Deshalb betrachte $\begin{eqnarray*} [a,b]: a \le 0 \le b \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y \in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in [a,b]: f(x_0)=y \end{eqnarray*}$
-) $\begin{eqnarray*} y= 0 \end{eqnarray*}$ . Dann wähle $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$
-) $\begin{eqnarray*} y \not= 0 \end{eqnarray*}$ .
Mein Versuch:
Sei $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon: y- \epsilon > 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \not\in [y- \epsilon, y] \end{eqnarray*}$ . Also ist f im Intervall $\begin{eqnarray*} [y- \epsilon, y] \end{eqnarray*}$ stetig demnach gilt die Zwischenwerteigenschaft.
Sei $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon: y+ \epsilon < 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \not\in [y , y+ \epsilon] \end{eqnarray*}$ . Also ist f im Intervall $\begin{eqnarray*} [y , y+ \epsilon] \end{eqnarray*}$ stetig demnach gilt die Zwischenwerteigenschaft.

Aber ich glaub, dass ist so falsch, da man $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beliebig klein wählen müsste, da es ja stark oszilliert nahe bei 0...

Warum unterscheidest du zwischen den beiden Fällen?:
$\begin{eqnarray*} 1) a \le 0 <b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) a < 0 \le b \end{eqnarray*}$

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14.12.2014, 17:03

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Warum unterscheidest du zwischen den beiden Fällen?:
$\begin{eqnarray*} 1) a \le 0 <b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) a < 0 \le b \end{eqnarray*}$

Da mit der Schreibweise $\begin{align*} a \le 0 \le b \end{align*}$ auch das entartete "Intervall" $\begin{align*} [0,0] \end{align*}$ möglich wäre. das wollte ich ausschließen. Aber 0 könnte durchaus einer der Endpunkte sein, ohne dass sich etwas an der Beweisführung ändert.

14.12.2014, 17:08

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi

Dann hab ich das im Anfangspost ganz falsch beschrieben, wass ich noch zu zeigen habe:

In allen Intervallen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ die, die 0 nicht etnhalten ist f stetig, demnach gilt die zwischenwerteigenschaft.
Deshalb betrachte $\begin{eqnarray*} [a,b]: a \le 0 \le b \end{eqnarray*}$

Was genau sollst du zeigen? Die von dir angegeben Funktion hast du ja erst im Internet gefunden.

14.12.2014, 18:05

StrunzMagi

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Hallo,
Ist mein Beitrag nun falsch oder richtig?
Was ich genau zeigen möchte? Dass die Funktion f(x), die ich in Anfangspost definiert habe, die Zwischenwerteigenschaft erfüllt, wie im Anfangsbeitrag beschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.12.2014, 18:51

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi

-) $\begin{eqnarray*} y \not= 0 \end{eqnarray*}$ .
Mein Versuch:
Sei $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon: y- \epsilon > 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \not\in [y- \epsilon, y] \end{eqnarray*}$ . Also ist f im Intervall $\begin{eqnarray*} [y- \epsilon, y] \end{eqnarray*}$ stetig demnach gilt die Zwischenwerteigenschaft.
Sei $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon: y+ \epsilon < 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \not\in [y , y+ \epsilon] \end{eqnarray*}$ . Also ist f im Intervall $\begin{eqnarray*} [y , y+ \epsilon] \end{eqnarray*}$ stetig demnach gilt die Zwischenwerteigenschaft.

verwirrt

Deine Argumentation verstehe ich überhaupt nicht. Nehmen wir mal a<0, b>0 und $\begin{align*} 0\not=f(a)\not=f(b)\not=0 \end{align*}$ . Dann gilt es doch nur zu zeigen, dass gilt: $\begin{align*} \forall y\in [f(a),f(b)] \;\exists x_0\in[a,b] \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x_0)=y \end{align*}$ . Wenn du das Intervall $\begin{align*} [a,a_1]\subset [a,b] \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac 1 a +2\pi =\frac 1 {a_1}\Rightarrow a_1=\frac a{1+2a\pi } \end{align*}$ betrachtest, so ist $\begin{align*} a < a_1< 0 \end{align*}$ und die Funktion nimmt in dem Intervall jeden Wert im Bereich $\begin{align*} [-1,1] \end{align*}$ an, also den gesamten Wertebereich.

15.12.2014, 16:44

StrunzMagi

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Hallo,

Hier verstehe ich deine Argumentation nicht warum sollte $\begin{eqnarray*} a_1 < 0 \end{eqnarray*}$ sein?

> die Funktion nimmt in dem Intervall jeden Wert im Bereich [-1, 1] an, also den gesamten Wertebereich.
Wie begründest du das?
$\begin{eqnarray*} f(a_1)= sin ( \frac{1}{a} + 2 \pi)= sin(1/a)=f(a) \end{eqnarray*}$
Da bin ich ja nur die "halbe Periode vom Sinus entlang gegangen" zwischen a und a_1.

15.12.2014, 20:34

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi

Hier verstehe ich deine Argumentation nicht warum sollte $\begin{eqnarray*} a_1 < 0 \end{eqnarray*}$ sein?

Da hast du recht, kleiner Lapsus. Man müsste wählen $\begin{align*} \frac {1}{a_1}=\frac {1}{a}{\color{red}-}2\pi \Rightarrow a_1 =\frac{a}{1-2a\pi} <0\Rightarrow \lvert a_1\rvert =\frac{\lvert a\rvert}{1-2a\pi} <\lvert a\rvert\Rightarrow a<a_1<0 \end{align*}$ . Es ist dann ja $\begin{align*} [a,a_1]\subset [a,b] \end{align*}$

(btw: warum rechne ich dir eigentlich deine Aufgabe vor? Von dir könnte außer Kritik auch was Konstruktives kommen.)

Zitat:

> die Funktion nimmt in dem Intervall jeden Wert im Bereich [-1, 1] an, also den gesamten Wertebereich.
Wie begründest du das?

Das könntest du dir jetzt mal selber überlegen!

Edit: Inhaltich nochmal deutlich überarbeitet und vereinfacht

16.12.2014, 10:50

StrunzMagi

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Ich hab das Bsp einige Male versucht zu lösen, im vorletzen Beitrag hast du mir eine Lösung präsentiert. Soll ich nicht sagen, wenn ich etwas nicht verstehe?
Es ist doch nicht so schlimm, wenn man Beispiele nicht selbst hinkriegt und deshalb die Lösung eines anderen benutzt. Was ich schlimm finde, ist wenn man sie abschreibt ohne sie zu verstehen...Aber ich versuche die Lösung zu verstehen!

Aber weiter in der Mathematik:
Mit dem überarbeiteten $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls:
$\begin{eqnarray*} f(a_1)= sin ( \frac{1}{a} - 2 \pi)= sin(1/a)=f(a) \end{eqnarray*}$
Da der Sinus die Periode $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ hat.

Auf $\begin{eqnarray*} [a,a_1] \subseteq [a,b] \end{eqnarray*}$ können wir nun den Zwischenwertsatz anwenden, da das Intervall $\begin{eqnarray*} [a, a_1] \end{eqnarray*}$ nicht die 0 enthält und demach f in dem Intervall stetig ist.

Jetzt bleibt die Frage ob im Intervall $\begin{eqnarray*} [f(a), f(a_1)] \end{eqnarray*}$ alle Werte vom Intervall $\begin{eqnarray*} [-1, 1] \end{eqnarray*}$ getroffen werden. Richtig?
Ich bin mir sicher, dass dies damit zusammen hängt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} - 2\pi \end{eqnarray*}$ also mit der Peridizität $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}, \frac{1}{a_1} \end{eqnarray*}$ .

Passt das so?

Eine Frage hab ich noch:
Warum schließt du am Anfang des Beweises den Fall $\begin{eqnarray*} f(a) \not= 0 \not= f(b) \end{eqnarray*}$ aus?

Liebe Grüße

16.12.2014, 10:56

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi

Eine Frage hab ich noch:
Warum schließt du am Anfang des Beweises den Fall $\begin{eqnarray*} f(a) \not= 0 \not= f(b) \end{eqnarray*}$ aus?

Weil der Fall für die Anwendung des Zwischenwertsatzes trivial wäre in Verbindung mit a<0 und b>0. Du kannst das natürlich weglassen.

16.12.2014, 11:03

StrunzMagi

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Also alles stimmig, wie ich es im vorrigen Beitrag zusammengefasst habe? Ich weiß nicht ob kein Beitrag/Kommentar/Korrektur dazu heißt, dass es falsch ist oder das es richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beim letzten Mal bedeutete es eine Vollkatastrophe also bin ich mir nicht sicher wie ich das zu deuten habe..

Du hast für den Fall eigentlich ja nur $\begin{eqnarray*} a \not= 0 \end{eqnarray*}$ gebraucht.
Für $\begin{eqnarray*} b \not= 0 \end{eqnarray*}$ könnte man genauso ein $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ bauen. Wenn a=b=0 ist das ganze ja trivial.

LG

16.12.2014, 11:22

RavenOnJ

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Es sollte dir jetzt hoffentlich klar sein, warum für diese Funktion die Zwischenwerteigenschaft folgt.

16.12.2014, 15:16

StrunzMagi

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Mhm? Wir reden irgendwie vollkommen aneinander vorbei.
Wieso gibts du mir nicht bescheid ob ich in dem vorletzten Beitrag alles richtig zusammengefasst habe oder nicht?
Dann ist die Aufgabe ja für mich auch erledigt, aber wenn ich da was falsch verstanden habe setze ich mich nochmal ran..

16.12.2014, 23:24

RavenOnJ

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Wir reden nicht aneinander vorbei. Wenn du aber solche Formulierungen wie "ich bin mir sicher, dass ..." gebrauchst, dann zeugt das nicht gerade von einer klaren Beweisführung. Es wäre schön gewesen, wenn du den gesamten Beweis in mathematisch klarer Sprache nochmal hingeschrieben hättest, ich könnte dir erst dann mein OK geben. Bisher steht da nur Stückwerk, das sogar zum großen Teil von mir stammt. Aber gut: Wenn du damit zufrieden bist, dann lass es so. Ist ja dein Ding.

17.12.2014, 10:40

StrunzMagi

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Ja klar mach ich. Nein ich bin noch nicht zufrieden, aber ich hatte das Gefühl, dass ich dir auf die Nerven gehe.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
ZZ.: f besitzt die Zwischenwerteigenschaft

In allen Intervallen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , die 0 nicht enthalten ist f stetig, demnach gilt die ZWE(=Zwischenwerteigenschaft).
Sei demnach $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a <= 0 <= b \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} a \not=0 \end{eqnarray*}$
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \forall y \in [f(a), f(b)]: \exists x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=y \end{eqnarray*}$
Setzte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} - 2 \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1} <0 \Rightarrow a_1 < 0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{\frac{1}{a}-2\pi} = \frac{a}{1-2a \pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_1| = |\frac{a}{1-2\pi a}| = \frac{|a|}{|(1-2\pi a)|} < |a| \end{eqnarray*}$
Da a und a_1 kleiner also 0 sind=> $\begin{eqnarray*} 0> a_1 > a \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} [a, a_1] \subseteq [a,b] \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 0> a_1 > a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 \not\in [a, a_1] \end{eqnarray*}$ . Demnach ist f auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,a_1] \end{eqnarray*}$ stetig und es gilt die Zwischenwerteigenschaft.

Noch zuzeigen ist, dass im Intervall $\begin{eqnarray*} [f(a), f(a_1)] = [sin(1/a), sin(1/a_1)] \end{eqnarray*}$ alle Werte $\begin{eqnarray*} y \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$ liegen. Dies folgt aus der Peridodizität des Sinus und der Wahl von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} - 2 \pi \end{eqnarray*}$ .

Ist a=0 so geht man analog vor für $\begin{eqnarray*} b \not=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b_1} = \frac{1}{b} + 2\pi \end{eqnarray*}$

Sind $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ so ist die Aussage der ZWE trivial. $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Verbesserungsvorschläge/Kritik erwünscht !
LG

17.12.2014, 11:34

RavenOnJ

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Das ist gut. Ich würde aber noch betonen, dass [-1,1] den gesamten Wertebereich umfasst, was ja die Motivation für diese Beweisführung war. Dass also deswegen innerhalb des Intervalls $\begin{align*} [a,a_1] \end{align*}$ jeder Funktionswert vorkommt.

18.12.2014, 17:02

StrunzMagi

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Ja, das mache ich. Vielen Dank für die Hilfe.

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