Invertierbarkeit einer Matrix

14.12.2014, 18:56	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit einer Matrix Meine Frage: Hallo, Ich habe die folgende Aufgabe: Geben Sie alle $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R \end{eqnarray}$ an, sodass die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Bestimmen Sie in diesen Fällen die Inverse von A. Meine Ideen: Wir haben die Determinante noch nicht gehabt. Ich habe zuerst versucht die Matrix in die reduzierte Stufenform zu bringen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a²-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weiter komme ich jedoch nicht. Könnt ihr mir helfen? Danke im Voraus.
14.12.2014, 19:07	Nullzeile	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wann entsteht denn nun in der letzten Zeile eine Nullzeile, womit du keinen vollen Rang mehr hast und die Inverse nicht gebildet werden kann?
14.12.2014, 19:14	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} a=\pm1 \end{eqnarray}$ , dann ist die Matrix nicht invertierbar. Ich muss aber dann noch weiterrechnen, um die Inverse (für a ungleich $\begin{eqnarray} \pm1 \end{eqnarray}$ ) zu bekommen, oder?
14.12.2014, 19:19	Nullzeile	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich. Dazu musst du dich aber auch an die üblichen Verfahren halten, nämlich das du deine Matrix um die Einheitsmatrix erweiterst und alle Umformungen dort auch durchführst.
14.12.2014, 19:21	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss jedoch beim Umformen durch a teilen, dann ist auch a ungleich 0, oder?
14.12.2014, 19:22	Nullzeile	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du durch a teilst, dann musst du a=0 natürlich ausschließen. Diesen Fall müsstest du dann extra behandeln. Es kann ja für a=0 dennoch eine Inverse geben.
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14.12.2014, 19:43	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & a & a² \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1\\ 0 & 0 & a²-1 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a²-1 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a²-1 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a²-1 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a²-1 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die gleichen Schritte kann ich ja dann auf die Einheitsmatrix anwenden. Das wäre der Fall a ungleich +/-1, a ungleich 0. Für a=0 ist einfach zu zeigen, dass man eine Inverse bilden kann. Dann ist die Matrix für a ungleich +/- 1 invertierbar, oder?

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