Lineare Abbildung F: R3 --> R4

15.12.2014, 19:40

Carolina

Lineare Abbildung F: R3 --> R4

Meine Frage:
Hallo zusammen,
also ich mache gerade meine Mathe Übung und komme auch soweit mit allen Aufgaben zurecht, nur da stehe ich echt auf dem Schlauch.
Ich erwarte jetzt keine genaue Lösung der Aufgabe, aber es wäre schön, wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet.

Vielen Dank!

Aufgabe: (die Zahlen die ich in eine Reihe schreibe sind Vektoren)
Gibt es eine lineare Abbildung F: R3 -> R4 mit den folgenden Eigenschaften? Beweisen oder widerlegen Sie.

a.) F((1,1,0))= (1,5,7,5), F((1,1,0))=(3,9,6,7) , F((1,1,1))=(6,9,6,18)

Meine Ideen:
Meine Idee, war zu gucken ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind, aber mit einmal drei Zeilen und vier Spalten, weiß ich nicht wie das gehen soll..

15.12.2014, 19:48

10001000Nick1

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RE: Lineare Abbildung F: R3 --> R4

Zitat:

Original von Carolina
F((1,1,0))= (1,5,7,5), F((1,1,0))=(3,9,6,7)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ soll also auf zwei verschiedene Elemente abgebildet werden? verwirrt

15.12.2014, 19:53

Carolina

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Oh, dankeschön das soll (1,0,0) sein !!

15.12.2014, 19:54

10001000Nick1

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Soll ich jetzt erraten, welches von den beiden $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geändert werden soll?

15.12.2014, 20:00

Carolina

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Oh sorry das Erste

15.12.2014, 20:06

10001000Nick1

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Also $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}1\\5\\7\\5\end{pmatrix}, F(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}3\\9\\6\\7\end{pmatrix}, F(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}6\\8\\6\\18\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?

Deine Idee

Zitat:

Original von Carolina
zu gucken ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind

war schon ganz gut.
Lies dir dazu mal das durch; da steht alles, was du wissen musst. smile

15.12.2014, 20:10

Carolina

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Jap, das stimmt jetzt so. smile

Das habe ich mir auch schon durchgelesen , aber irgenwie komme ich nicht weiter..
Ich habe glaube ich heute zu viel Mathe im Kopf. traurig

Wäre schön wenn du mir zu dem ersten deinen Ansatz schreiben könntest.
Ich verstehe das immer am besten, wenn mir das jemand in eigenen Worten erklär Lehrer

15.12.2014, 20:19

10001000Nick1

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Du hast die Bilder dreier Vektoren gegeben.
Wenn diese drei Vektoren eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bilden, dann ist durch diese drei Bilder die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ schon eindeutig festgelegt (wenn ihr das noch nicht gezeigt habt, dann kannst du auch einfach die lineare Abbildung explizit angeben).
Du musst also erstmal überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bilden.

16.12.2014, 07:48

Carolina

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Ahhaaa.. okay, d.h. wenn ich die drei Vektoren ins LGS überführe sind sie ja schon in Zeilenstufenform und somit linear unabhängig, d.h. sie sind eine basis vom R3 oder ?
muss ich noch mehr machen ...

16.12.2014, 09:00

klarsoweit

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Nun ja, du könntest noch die Abbildung F angeben, also sagen, auf was ein beliebiger Vektor (x, y, z) abgebildet wird. smile

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Lineare Abbildung F: R3 --> R4

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