Nullstellen finden |
17.12.2014, 04:40 | Herbay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nullstellen finden dabei gilt a1<a2...<an von (R) Man soll zeigen, dass es genau n-1 Nullstellen gibt! Idee wäre Induktion mit ZWS zuverbinden, aber das haut nicht hin Edit von Guppi12: Latex korrigiert |
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17.12.2014, 05:39 | Herbay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Behauptung f(x) hat n-1 Nullstellen für n=1 trivial wir schließen von n auf n+1 o.B.A a1>0 dazu nach Voraussetzung gibt es n-1 nullstellen und g ist stetig, sodass dabei haben wir Nullstellen nach aufsteigender Größe sortiert! -> Nach ZWS existert g(c)= u und wie ich sehe bringt das nix .... |
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17.12.2014, 10:15 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du könntest - ganz ohne Induktion - zeigen, dass f in jedem offenen Intervall eine Nullstelle hat. |
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17.12.2014, 14:08 | Herbay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
k.a wie ich den ZWS hier benutzen kann um zuzeigen dass es eine nullstelle in (a_1,a_2) liegt |
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17.12.2014, 17:54 | Herbay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
betrachte man das geschlosse Intervall [a_i+1/n, a_(i) -1/n] bsp für [a_1+1/n, a_(2) -1/n] setzt man hier x= a_1+1/n ein für n-> unendlich geht der wert gegen unendlich analog für x= a_2-1/n und das geht gegen - unendlich ->wegen ZWS gibt es daher ein c sodass f(c) eine Nullstelle in [a_1+1/n, a_(2) -1/n] c ist auch die einzige nullstelle, da f monton fallend ist. |
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17.12.2014, 19:39 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei du das geschlossene Intervall gar nicht brauchst, die Grenzwertbetrachtungen für bzw. reichen aus. Fehlt nur noch die Begründung, dass keine Nullstelle kleiner als a_1 oder größer a_n sein kann. |
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17.12.2014, 20:20 | Herbay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist für x>an stets positiv und für x<a1 stets negativ keine nullstelle außerhalb a1, an |
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17.12.2014, 20:35 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und fertig! |
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06.01.2015, 07:41 | Tim0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie hast du bewiesen, dass f monotn fallend ist im ausgewählten Intervall? |
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06.01.2015, 09:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das geht sehr einfach z.B. über die Ableitung: Es ist für alle des Definitionsbereichs von . |
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06.01.2015, 10:15 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei man auch ohne Monotonie argumentieren kann: Man hat bereits via Zwischenwertsatz und Grenzwertbetrachtungen für bzw. gezeigt, dass jedes der n-1 Intervalle mindestens eine Nullstelle enthält. Schreibt man f auf einen Bruch, steht im Zähler ein Polynom vom Grad höchstens n-1. |
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06.01.2015, 11:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Off-topic Eine ganz nette Aufgabe im Zusammenhang mit den Nullstellen derartiger Funktionen ist die IMO 1988/4 (Download hier). |
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06.01.2015, 21:41 | Tim0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ableitung leider noch nicht behandelt @URL <- multipliziere mit (x-a_i) (von i=1 bis n) dann hat man einen Polynom von Grad n-1 ->n-1 maximale nullstelle mit ZWS folgt genau n-1 nullstellen? |
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06.01.2015, 21:58 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso sollte n-1 überhaupt eine Nullstelle sein? |
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