Zwischenwerteigenschaft + ? => Stetigkeit

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwerteigenschaft + ? => Stetigkeit
Hallo Augenzwinkern

Ich habe eine Frage, die beim lernen aufgetaucht ist:
Aus der Zwischenwerteigenschat folgt ja nicht die Stetigkeit. Welche Zusatzeigenschaften kann man an eine Funktion formulieren um aus der Zwischenwerteigenschaft Stetigkeit zu folgern?

Ich hab in einen Buch in einer kurzen Bemerkung etwas von Injektivität gelesen? oder das die Urbildmenge jedes Punktes abgeschlossen ist? Habt ihr Bücher/Links dazu? Oder wisst konkrete Sätze dazu?

Übrigens die Zwischenwerteigenschaft lautet:Sei ein Intervall. hat die Zwischenwerteigenschaft auf I wenn für alle Intervalle und für alle mit

LG
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was genau möchtest du denn, geht es dir um den Beweis von

Zitat:
Ich hab in einen Buch in einer kurzen Bemerkung etwas von Injektivität gelesen? oder das die Urbildmenge jedes Punktes abgeschlossen ist?


oder möchtest du stattdessen noch mehr Eigenschaften, die zusammen mit der Zwischenwerteigenschaft die Stetigkeit implizieren?

Viel elementarer als eine von den angegebenen Eigenschaften wird es wohl nicht gehen, denke ich. Besonders die zweite halte ich für sehr elementar. Sie ist nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig für die Stetigkeit von Funktionen, die die Zwischenwerteigenschaft haben.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12,
Ich wollte fragen ob ich den Beweis auch hinbekomme, mit wenig Topologie-Kenntnissen - da ich erst im 2.Semester bin. Oder ob ich den wo nachlesen kann, wenn er sehr schwierig ist.

LG
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Beweise benötigen nichts, was über das zweite Semester hinausgeht.
Der Beweis mit der Injektivität ist leichter. Fang doch damit an Augenzwinkern zeige dafür zunächst, dass Injektivität und die Zwischenwerteigenschaft Monotonie implizieren.

Beim zweiten Beweis kann man hervorragend direkt mit der Definition arbeiten.
Sieh dir für und die Urbilder von und an.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

Aussage 1: ist stetig wenn f die Zwischenwerteigenschaft besitzt sowie injektiv ist.

Beweis:

Behauptung: f ist streng monoton
Ang f wäre nicht streng monoton, d.h.
Ich behandle mal den Fall:, der andere analog
-) Fall 1)
Dann gilt
Nach dem Zwischenwertsatz
Nach der Injektivität muss was aber ein Widerspruch ist zu
-) Fall 2)
Dann gilt
Nach dem Zwischenwertsatz
Nach der Injektivität muss , was zu einen Widerspruch führt.
-) Fall 3)
widerspricht der Injektivität da

Aber wie folgt aus der Monotonie+Zwischenwertsatz schon Stetigkeit?
Ich weiß, dass bei einer monotonen Funktion auf jeden abgeschlossenen Intervall in jedem Punkt rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte existieren.Demnach kann es in jedem abgeschlossenen Intervall nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen(wenn welche existieren) geben.
Nach dem Zwischenwertsatz gilt aber . Hier komme ich noch nicht weiter, wie ich die Stetigkeit schön mathematisch zeige.
Sollte ich hier mit der Folgenstetigkeit arbeiten?

Ein Genau-Dann-Wenn gilt ja bei Aussage 1 nicht, da es nicht injektiven stetige Funktionen gibt wie
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis zur Montonie sieht schon einmal gut aus Freude

Du kannst ja mal annehmen, dass es eine Sprungstelle gibt, sagen wir . Wir können mal o.B.d.A annehmen, dass auf der rechten Seite von ein Sprung ist und das unsere Funktion strenge monoton steigend ist. D.h. es existiert so dass für alle .
 
 
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich entdecke da aber irgendwie keinen Widerspruch?

Angenommen ist solch eine Sprungstelle:
Nach Stetigkeits-Definition:
Ang und f streng monoton steigend dann ist


Nach Monotonie gilt außerdem


Nach ZWS

Ich hab noch herumversucht mit:
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn für alle gibt es insbesondere kein mit .
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wieso gilt das für alle x? Ich hab doch nur gezeigt im vorigen Post, dass es ein solches x existiert.

Aussage 1: ist stetig wenn f die Zwischenwerteigenschaft besitzt sowie injektiv ist.
Beweis:

Behauptung: f ist streng monoton
klar

Ang ist eine Unstetigkeitsstelle und nehmen wir an f ist streng monoton steigend:

Daraus folgt für
Nach Zwischenwertsatz folgt:

Es gilt zwar und Aber das ist doch kein Widerspruch soweit es x existiert, dass nicht die Bedingung erfüllt.
Was ist bei mir da nicht richtig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Siehst du da wirklich nicht den Widerspruch?

Zitat:
Daraus folgt für


Das heißt doch, für nimmt schonmal nicht den Wert an, denn dort sind die Funktionswerte ja alle größer als dieser Wert.

Für gilt aber doch aus Monotoniegründen , also gibt es überhaupt kein mit .


Edit: Um das ganze nochmal präziser zu fassen:
Man könnte auch einfach nachdem man dein gefunden hat, sich ein neues wählen, so dass . Dann findet man ein neues mit , so dass , was dann der Montonie widerspricht.

Aber so formal muss man es eigentlich nicht machen. Man muss dafür einfach nur seine Vorstellung etwas bemühen und sich etwas von dem Formalen lösen. Das ist eine sehr wichtige Methode in der Mathematik. Ohne eine Vorstellung, warum etwas funktioniert, wird man selten einen Beweis finden, indem man einfach nur herumstochert.

Was ich damit meine ist, dass eine Sprungstelle zusammen mit Monotonie doch gerade bedeutet, dass für alle gilt, dass
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