Berechnung der Länge einer Wellenfigur

18.12.2014, 15:50	Michi1988_LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Länge einer Wellenfigur Meine Frage: Hallo zusammen, folgende Aufgabe bereitet mich Kopfzerbrechen: Eine Wellenfigur entstehe durch Aneinanderfügen von Halbkreisen, bei denen jeder Radius das 1/2-fache des vorhergehenden ist. Der Anfangsradius sei 10cm. a) Zeichen Sie die Wellenlinie, wenn sie mit einem Berg beginnt und 5 Täler hat. b) Berechnen Sie die Länge der Wellenlinie. Meine Ideen: Soweit habe ich die Aufgabenstellung verstanden. a) Bereits das Zeichnen war laut Lösungsbuch nicht ganz richtig. Meine Zeichnung beginnt mit einem Halbkreis. Laut Lösungsbuch beginnt die Zeichnung mit einem Viertelkreis, was ich jedoch der Aufgabe nicht entnehmen kann. b) Bei der Berechnung habe ich die Formel für den Kreisumfang genutzt (2rPi). Da hier nur der Halbkreis gesucht wurde, rPi. Meine Tabelle: 1. Berg: 2 * 5Pi 1. Tal: 5Pi 2. Berg: 1/2 * 5Pi 2. Tal: 1/4 * 5Pi 3. Berg 1/8 * 5Pi 3. Tal: 1/16 * 5Pi 4. Berg: 1/32 * 5Pi 4. Tal: 1/64 * 5 Pi 5. Berg 1/128 * 5Pi 5. Tal: 1/256 * 5Pi Für die Berechnung des Umfanges habe ich... 5Pi + 5Pi (2 + 1/2 + ... + 1/256) berechnet und komme somit auf 62,77 cm. Lösungsbuch Tabelle: 1. Berg: 2,5Pi 1. Tal: 2,5 Pi 2. Berg: 1/2 * 2,5Pi 2. Tal: 1/4 * 2,5Pi 3. Berg: 1/8 * 2,5Pi 3. Tal: 1/16 * 2,5Pi 4. Berg: 1/32 * 2,5Pi 4. Tal: 1/64 * 2,5Pi 5. Berg: 1/128 * 2,5Pi 5. Tal: 1/256 * 2,5Pi Umfang = $\begin{eqnarray} = 5\pi +2,5\pi \left(\frac{1-(\frac{1}{2})^8 }{1-\frac{1}{2} } \right) \end{eqnarray}$ Ergebnis rund 31,35 cm. Ich verstehe 1. das mit dem Viertelkreis nicht und 2. die Berechnung des Umfanges. Ist mein Ergebnis falsch? Vielen Dank für Eure Ideen! Liebe Grüße Michi
18.12.2014, 15:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Wenn die Figur mit einem BERG beginnt, geht sich am Anfang wohl nur ein Viertelkreis aus! Zugegeben, die Angabe ist hier missverständlich, es würde auch mit einem Halbkreis oben gehen 2. Du solltest die Länge mittels einer geometrischen Reihe* berechnen und nicht mühsam eine Addition von einem Haufen Gliedern aufstellen! () $\begin{eqnarray} s_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \end{eqnarray*}$ mY+
18.12.2014, 17:59	Michi-261988	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe! Aber was ist eine geometrische Reihe? Das hatte ich noch nicht. :-/ Hast du vielleicht einen gute Seite? Danke! Wikipedia hilft mir nicht wirklich...
18.12.2014, 18:31	Michi-261988	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber müssten nicht beide Ergebnisse gleich sein, egal ob mit der Formel oder umständlich zusammengerechnet? Das stimmt aber leider nicht... $\begin{eqnarray} 5\pi +5\pi (2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\frac{1}{16} +\frac{1}{32} +\frac{1}{64} +\frac{1}{128} +\frac{1}{256} )= 62,77 cm \end{eqnarray}$ Mit der Formel wäre es ja dann... $\begin{eqnarray} 15\pi+5\pi \left(\frac{1-\frac{1}{2}^8 }{1-\frac{1}{2} } \right) = 78,42 \end{eqnarray}$
18.12.2014, 19:14	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Bogenlänge von n = 10 Halbkreisen, der erste R = 10 cm erhalte ich TR - Summe $\begin{align} l_n=\pi R\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i\approx 62{,}77~cm \end{align}$ Als "Formel" $\begin{align} l_n=\pi R\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i=\pi R\cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{10}-1}{\frac{1}{2}-1}\approx 62{,}77~cm \end{align}$

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