Hat jeder Vektorraum eine Basis?

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Frank Furt Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jeder Vektorraum eine Basis?
Meine Frage:
Ich bin gerade beim Lösen einiger inhomogener linearer Gleichungssysteme mit Hilfe entsprechender Koeffizientenmatrizen und frage mich ob es denn sein kann, dass ein Vektorraum keine Basis besitzt?

Meine Ideen:
Ich errechne die Anzahl der Basisvektoren über die Dimension des Vektorraums, da sich diese meines Wissens entsprechen. Das heißt ich nehme meine erweiterte Koeffizientenmatrix, bringe diese so gut es geht in Zeilenstufenform und betrachte diese genauer. Die entsprechende Dimension errechne ich aus der Anzahl der Unbekannten n in meinem System und ziehe von diesen den Rang r meiner Koeffizientenmatrix ab. Es kann deshalb ja durchaus möglich sein, dass sich die Anzahl der Unbekannten n mit dem Rang der Matrix entsprechen und somit die Dimension meines Lösungsraums gleich 0 ist oder, was soweit ja kein Problem ist, denn ich Stelle mir ein Objekt mit der Dimension 0 als einen einzelnen Punkt vor? Dies würde darüber hinaus auch bedeuten, dass die Anzahl der Basisvektoren meines Vektorraumes auch gleich null ist ... kann das sein oder hat sich da der ein oder andere Verständnisfehler bei mir eingeschlichen?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Die Basis des Nullraums ist die leere Menge. Ihre Mächtigkeit ist 0, so wie es sein soll.
Beweis: Wenn man den einzigen Vektor in diesem Vektorraum betrachtet, so ist dieser wegen 0=1*0 linear abhängig, also kann kein Vektor in der Basis sein.

Wenn ein homogenes LGS Ax=0 genau eine Lösung hat, dann ist die Lösungsmenge der Nullraum, also ein Untervektorraum. Wenn ein inhomogenes LGS Ax=b genau eine Lösung hat, dann enthält die Lösungsmenge genau einen von 0 verschiedenen Vektor, ist also kein Untervektorraum, denn jeder Untervektorraum muss wegen 0=0*x den Nullvektor enthalten. Von Punkten in Vektorräumen kann man überhaupt nicht sprechen, denn Vektorräume enthalten Vektoren; affine Räume enthalten Punkte.

Es gilt der Satz: Jeder Vektorraum hat eine Basis. Für den Beweis dieses Satzes in unendlich-dimensionalen Vektorräumen muss man an das Lemma von Zorn glauben. Bis jetzt hat noch niemand eine Basis z.B. des Vektorraums der reellen Potenzreihen gefunden; wir haben keine Ahnung, wie eine solche aussehen könnte, aber wir glauben daran.
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