ggT(x,y)=ggT(x,y-x)?

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19.12.2014, 00:13

Dam

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ggT(x,y)=ggT(x,y-x)?

hallo,
wieso gilt für y>x dass
ggT(x,y)=ggT(x,y-x)?

wie zeige sowas?

19.12.2014, 00:18

Guppi12

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Hallo, zeige, dass $\begin{eqnarray*} ggT(x,y) \leq ggT(x,y-x) \end{eqnarray*}$ und umgekehrt. Noch ein Schubs:

ggT(x,y) teilt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ . Kannst du daraus $\begin{eqnarray*} ggT(x,y) \leq ggT(x,y-x) \end{eqnarray*}$ schließen? Wenn ja wie?

19.12.2014, 00:25

Dam

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sei ggt(x,y)=a
a l x
a l y
a l y-x
-> a* k=y-x

sei ggt(x,y-x)=b
b l y-x
b*l =y-x

weiter komme ich nicht

19.12.2014, 00:29

Guppi12

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Du denkst hier denke ich zu formelmäßig. a ist ein Teiler von x und x-y, also ein gemeinsamer Teiler von x und x-y. Sprich mal laut aus, was ggT(x,x-y) ist. Dann solltest du schließen können, dass $\begin{eqnarray*} a \leq ggT(x,x-y) \end{eqnarray*}$ gilt.

19.12.2014, 00:40

Dam

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Zitat:

Original von Guppi12
Du denkst hier denke ich zu formelmäßig. a ist ein Teiler von x und x-y, also ein gemeinsamer Teiler von x und x-y. Sprich mal laut aus, was ggT(x,x-y) ist. Dann solltest du schließen können, dass $\begin{eqnarray*} a \leq ggT(x,x-y) \end{eqnarray*}$ gilt.

ja stimmt a teiler von x und x-y ggt(x,y-x) ist größte teiler sei ggt(x,y-x)=c
dann ist c<= a

-> a<=c=ggt(x,y-x) (1)

sei c=ggt(x,y-x) dann ist x teiler von x und y-x also auch von x

also ggt(x,y-x)<=a=gg(x,y) (2)
verwirrt

aus 1 und 2 folgt die aussage!

19.12.2014, 00:43

Guppi12

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Zitat:

c<= a

umgekehrt, so wie es darunter auch steht.

Zitat:

sei c=ggt(x,y-x) dann ist x teiler von x und y-x also auch von x

Warum soll $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ sein?

19.12.2014, 00:46

Dam

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sei c=ggt(x,y-x) dann ist c teiler von x und y-x also auch von y

c sei ein beliebiger teiler von x,y und ggt(x,y) ist der größte
dann muss auch c<=ggt(x,y)

analog für den anderen fall

19.12.2014, 00:52

Guppi12

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Ja, ist jetzt von der Idee auf jeden Fall richtig. Pass aber etwas mehr mit deinen Formulierungen auf. c hat hier eine gefährliche Mehrfachbenennung Augenzwinkern

19.12.2014, 00:56

Dam

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also
ggt(x,y-x)<=ggt(x,y)

und dann

ggt(x,y-x)=>ggt(x,y)

dann muss ggt(x,y)=ggt(x,y-x) und fertig Big Laugh

wie biste so schnell darauf gekommen? Big Laugh

19.12.2014, 01:08

Guppi12

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richtig

Zitat:

wie biste so schnell darauf gekommen?

Das kann ich dir leider schwer beantworten. Mit etwas Erfahrung "sieht" man solche Beweise einfach.
Keine Sorge, das wird sich bei dir auch mit der Zeit einstellen.

20.12.2014, 00:29

Dam

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ich hab mir eine alternative überlegt:
$\begin{eqnarray*} ggt(x,y)=a, ggt(x,y-x)=b, a\neq b \end{eqnarray*}$ *

da ggt(x,y)=a und ggt(x,x-y)
folgt $\begin{eqnarray*} a*k=x , a*l=y \end{eqnarray*}$ **
folgt $\begin{eqnarray*} b*w=x, b*z=y-x \end{eqnarray*}$ ***

k,l,w,z element von Z

aus **

$\begin{eqnarray*} a(l-k)=y-x=b*w \end{eqnarray*}$ wegen * folgt

$\begin{eqnarray*} w=a \end{eqnarray*}$ ****

aus *** folgt $\begin{eqnarray*} b*w+b*z=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(w+z)=y=a*l \end{eqnarray*}$ wegen ****

$\begin{eqnarray*} b(a+z)=a*l \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} b=a \end{eqnarray*}$ das wiederspricht der annahme $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$

20.12.2014, 13:07

Guppi12

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Da kann ich leider nicht viel richtiges erkennen. Und weil du dir auch nicht zu Herzen genommen hast, dir mit dem Aufschrieb etwas mehr Mühe zu geben, werde ich auch nicht auf alles eingehen. Hier nur zwei Punkte:

Zitat:

aus **
$\begin{eqnarray*} a(l-k)=y-x=b*w \end{eqnarray*}$

Wieso ? Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} a(l-k) = y-x = b*z \end{eqnarray*}$ ?

Außerdem kannst du aus $\begin{eqnarray*} a(l-k) = b*w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ keineswegs $\begin{eqnarray*} w=a \end{eqnarray*}$ folgern.

Das kann auch insgesamt so nicht funktionieren, weil du nirgendwo benutzt hast, dass $\begin{eqnarray*} ggT(x,y) \end{eqnarray*}$ der größte gemeinsame Teiler von x,y ist.

20.12.2014, 16:31

Dam

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Zitat:

Original von Guppi12

Wieso ? Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} a(l-k) = y-x = b*z \end{eqnarray*}$ ?

Außerdem kannst du aus $\begin{eqnarray*} a(l-k) = b*w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ keineswegs $\begin{eqnarray*} w=a \end{eqnarray*}$ folgern.

ja danke hat sich damit erledigt! smile

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