Teilerfremde komplexe Zahlen, gleiches Ideal?

19.12.2014, 11:54

Shalec

Teilerfremde komplexe Zahlen, gleiches Ideal?

Hallo,

zu Grunde liegt der Ring der Gaußschen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ . Folgendes sind die Voraussetzungen:

$\begin{eqnarray*} p\equiv 1\ (mod\ 4) \end{eqnarray*}$ prim
$\begin{eqnarray*} p=u\cdot \overline{u} \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes Primelement $\begin{eqnarray*} u\in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$

Behauptung Das von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ erzeugte Primideal von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ wird auch von den ELementen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i-z \end{eqnarray*}$ erzeugt, wobei $\begin{eqnarray*} z^2\equiv -1\ (mod\ p) \end{eqnarray*}$

Erste Frage dazu: Ist z eine ganze oder komplexe Zahl? (mit sind keine Informationen über z bekannt, da auch z=i die Bedingung erfüllt, kam mir die Frage)

Folgender Weise bin ich vor gegangen:
Zunächst ist p ein Vielfaches von u und somit sind die daraus erzeugten Ideale gleich.
Nun zu i-z: Die Norm $\begin{eqnarray*} N(i-z)=(i+z)(i-z)\equiv 0\ mod\ p \end{eqnarray*}$ ist ein ganzzahliges Vielfaches von p. Folglich ist u entweder Teiler von i+z oder i-z. Im 2. Fall folgt die Behauptung direkt.

In der Vorlesung haben wir ein Lemma: (a+ib) und (a-ib) sind teilerfremd. Folglich ist in dem Fall, dass u ein Teiler von (i+z) teilt, kein Teiler von (i-z).

Nun die Frage: Wie kann ich nun darauf schließen, dass auch das von i-z erzeugte Ideal dem von u gleicht?

Vielen Dank schonmal und viele Grüße

Edit:
In der Behauptung habe ich 1-z gegen i-z ausgetauscht.

19.12.2014, 12:13

Elvis

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"Zunächst ist p ein Vielfaches von u und somit sind die daraus erzeugten Ideale gleich."

Das glaube ich nicht. u ist ein echter Teiler von p, also ist das Vielfachenideal von p echt enthalten im Vielfachenideal von u, die Ideale sind verschieden.

Im weiteren Verlauf tritt 1-z in der Behauptung und i-z im Beweis auf. Das verstehe ich nicht.

19.12.2014, 12:53

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
"Zunächst ist p ein Vielfaches von u und somit sind die daraus erzeugten Ideale gleich."

Das glaube ich nicht. u ist ein echter Teiler von p, also ist das Vielfachenideal von p echt enthalten im Vielfachenideal von u, die Ideale sind verschieden.

Im weiteren Verlauf tritt 1-z in der Behauptung und i-z im Beweis auf. Das verstehe ich nicht.

Hallo, vielen dank schonmal.

Da ich so gut wie nichts aus der Algebra (sondern nur lineare Algebra) weiß und ich genau das gelesen hatte, dass =, wenn p ein Vielfaches von u ist, bin ich davon ausgegangen, dass dies wahr ist. War aber dann vermutlich von einem Studenten als Lösung einer anderen Aufgabe und möglicherweise in einem anderen Kontext. Oder einfach falsch. :-)

Nach Deiner Ausführung genügt es also nicht zu zeigen, dass eine Zahl Vielfaches ist. Dazu muss ich dann das Kapitel über Ideale nachlesen.

In der Behauptung habe ich einen Fehler getippt: i-z ist richtig. Ich habe dies verändert und die Änderung als Notiz hinterlassen.

Ist es möglich, dass die Behauptung eher darauf abzielt, dass =<p, i-z> ist? Ein solches "und" ist leider mehrdeutig.

19.12.2014, 13:07

Elvis

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=<p,i-z>
Genau so verstehe ich die Behauptung.

19.12.2014, 13:14

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
=<p,i-z>
Genau so verstehe ich die Behauptung.

Dann denke ich nochmal darüber nach. Ich bin bis jetzt davon ausgegangen, dass ==<i-z> gelten soll. Also danke schonmal für die Korrektur.

Welcher Weg ist am effizientesten? Bevor ich richtig anfange, ist es möglich =<p,i-z> direkt zu zeigen? Oder sollte ich jeweils damit argumentieren, dass diese Teilmengen von einander sind? Oder gibt es noch einen weiteren Weg?

Mehr als die Definition eines Ideals kenne ich nicht, und diese ist von Wikipedia. Dieser Kurs wird an einer anderen Uni angeboten und dort existieren mehr Algebraveranstaltungen, die die Gebiete auch entsprechend vertiefen.

Viele Grüße

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