Extremwertberechnung Zylinder

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04.03.2007, 16:38	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung Zylinder Gegeben ist ein Zylinder für 1000 cm³ Schmierfett, der Mantel ist aus Pappe, Deckel und Boden aus Metall. Das Metall ist pro cm² 4-mal so teuer wie die Pappe. Welche maße braucht der Zylinder damit die Herstellung am billigsten ist?? Kann mir bei diese Hausaufgabe irgendwer helfen??!!!
04.03.2007, 17:08	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} V=\pi r^2 h \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} 1000 cm^3 = \pi r^2 h \end{eqnarray}$ . Die Pappe kostet pro $\begin{eqnarray} cm^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ GE. --> Metal $\begin{eqnarray} 4 x \end{eqnarray}$ GE pro $\begin{eqnarray} cm^2 \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} A_O = A_{\text{Mantel}}+ 2 \cdot A_{\text{Grundfläche}} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \end{eqnarray}$ . Also betragen die Kosten: $\begin{eqnarray} K = (2 \pi r h)x + (2 \pi r^2) 4x \end{eqnarray}$ Jetzt musst die erste Gleichung: $\begin{eqnarray} 1000 cm^3 = \pi r^2 h \end{eqnarray}$ mit einbringen, und dann $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ minimieren.
04.03.2007, 17:24	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit, so gut... erstmal DANKE aber wie berechne ich r und h ?? wie komme ich zu diesen werten?
04.03.2007, 17:29	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also forme $\begin{eqnarray} 1000 cm^3 = \pi r^2 h \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ um. Dies setzt du in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein. Dann hast du $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} K'(r) \end{eqnarray}$ bilden und Null setzen... und mit der zweiten Ableitung zeigen, dass es sich um ein Minimum handelt...
04.03.2007, 17:50	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
dann komme ich auf die 3. Wurzel von (-2000 / 2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) = r kann aber kaum glauben das, dass richtig ist?
04.03.2007, 18:00	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab da $\begin{eqnarray} r = 3,4139 \end{eqnarray}$
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04.03.2007, 18:04	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das etwas mit - 6,3... raus, dann rechne ich jetz mit deinem r weiter.
04.03.2007, 18:08	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du dich irgendwo verrechnet haben. Wenn du $\begin{eqnarray} r = 3,4139 \end{eqnarray}$ in die zweite Ableitung einsetzt, bekommst du einen Wert größer Null, also sind die Kosten mit diesem $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ minimal
04.03.2007, 18:15	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie habe ich hier nicht den geringsten durchblick. Wie lautet denn deine 1. ableitung ?
04.03.2007, 18:17	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab für $\begin{eqnarray} K'(r) = x ( 16 \pi r - \frac{2000}{r^2}) \end{eqnarray}$
04.03.2007, 18:25	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bis auf die 2000 haben unsere ableitungen nichts gemeinsam.Hatte ich doch recht habe nicht den geringsten durchblick.Und erlich gesagt auch nicht wie ich weiter rechnen soll, bzw jemahls ein ergebniss bekommen soll.
04.03.2007, 18:30	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du hast doch $\begin{eqnarray} h = \frac{1000}{2 \pi r^2} \end{eqnarray}$ . Eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} K(r) = (2 \pi r \frac{1000}{\pi r^2})x + (2 \pi r^2)4x \end{eqnarray}$ . Dies abgeleitet ergibt K'(r).
04.03.2007, 18:42	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Umgestellt nach h habe ich auch richtig. Verstehe aber nicht wie mann dann auf die 1. ableitungen kommt, demnach habe ich für die 2. ableitung $\begin{eqnarray} K(r)``=16\pir2000/r^2 \end{eqnarray}$
04.03.2007, 19:56	naightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
HILFE .... hat jemand von euch ahnung ..... wie ich zu einer Lösung komme???!!!
05.03.2007, 08:30	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} K = (2 \pi r \frac{1000}{\pi r^2})x + (2 \pi r^2)4x = ( \frac{2000}{r})x + (2 \pi r^2)4x = 2000 r^{-1}x + 8 \pi x r^2 \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} K'(r) = -2000 r^{-2}x + 16 \pi x r = -\frac{2000}{r^2}x + 16 \pi x r = x(16 \pi r - \frac{2000}{r^2}) \end{eqnarray}$

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