Integralfläche berechnen mit Parameter

20.12.2014, 23:22

madarax

Integralfläche berechnen mit Parameter

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guten Abend ,
habe ein problem mit dieser aufgabe:
Für welches t( 1,unendlich) ist die eingeschlossene fläche von h(x)= -0,5x^2 +6x -10 und der x achse im intervall [1;t] genau 11, 5 fe groß.
Mein problem komme nicht auf die lösung von t= 9- sqrt(21) und wenn die eine seite null stelle hab ich eine gleichung mit absulutem glied und x^3

mein Ansatz: siehe anhang

Edit opi: Doppelten Anhang entfernt.

20.12.2014, 23:51

Bonheur

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Zitat:

Original von madarax
Mein problem komme nicht auf die lösung von t= 9- sqrt(21)

Diese Lösung ist leider falsch.

Probe:

$\begin{align*} F(t)=\frac{-t^{3}}{6} + 3 \cdot t^{2}-10t+ \frac{43}{6} \end{align*}$

Es gilt dann $\begin{align*} t=9-\sqrt{21} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{-\left(9-\sqrt{21}\right)^{3}}{6} + 3 \cdot \left(9-\sqrt{21}\right)^{2}-10 \cdot \left(9-\sqrt{21}\right)+ \frac{43}{6}=\frac{43}{6} \neq 11.5 \end{align*}$

____________________________________________________________________

Du hast bei deiner Rechnung richtig erkannt, dass gelten muss: $\begin{align*} F(t)=11.5 \end{align*}$

$\begin{align*} F(t)=\frac{-t^{3}}{6} + 3 \cdot t^{2}-10t+ \frac{43}{6}=11.5 \Longleftrightarrow \frac{-t^{3}}{6} + 3 \cdot t^{2}-10t- 4.33333=0 \end{align*}$

Und hier hilft leider nur eine Annäherung z.B. das newtonsche Verfahren.

21.12.2014, 00:36

madarax

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Genau das selbe kam bei mir auch raus bei der probe .
Hab mir ganze darüber gedanken ,ob der ansatz vil. falsch war Hammer

Danke

21.12.2014, 00:52

opi

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Der Ansatz ist falsch, weil ihr über über eine Nullstelle von f(x) integriert. Die Intervalle [1,2] und [2,t] müssen getrennt behandelt werden.

21.12.2014, 00:58

Bonheur

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Stimmt. Hätte ich mehr nachdenken müssen oder den Graphen plotten sollen.

Vielen Dank, opi.

21.12.2014, 01:11

opi

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Bei der Flächenberechnung mit Hilfe von Integralen sollte die Bestimmung der Nullstellen der Funktion immer an erster Stelle stehen. Augenzwinkern

Weil ich es nun sowieso gerechnet habe:
$\begin{eqnarray*} t=9-\sqrt{21} \end{eqnarray*}$ ist richtig und läßt sich ohne Näherungsverfahren berechnen.

Damit verabschiede ich mich wieder aus diesem Thread. Wink

21.12.2014, 18:06

madarax

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Ich hab bei den nullstellen x1=2 und x2=10 raus. Normalerweise schaut man ja , ob eines der nullstellen im angegeben Intervall liegt. ABER hier haben wir ein parameter deshalb versteh ich nicht von wo bis wohin ich die Grenzen setzen muss

21.12.2014, 18:37

Bonheur

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Dein angegebenes Intervall lautet: $\begin{align*} I:[ \, \, 1 \, \, | \, \, t \, \, ] \end{align*}$

d.h. man geht von eins nach t und man sucht das t, wo der Flächeninhalt 11.5 beträgt.

Du hast richtig erkannt, dass zwei Nullstellen existieren: $\begin{align*} L:\{2;10\} \end{align*}$
Und diese beiden Nullstellen bedeuten doch für deine Funktion, dass der Flächeninhalt von eins nach zwei negativ ist und von zwei nach zehn positiv ist und aus diesem Grund musst du beides getrennt betrachten.

$\begin{align*} \left|\int\limits_{1}^{2} \! \frac{1}{2}t^{2}+6t-10 \, \, dt \right|+\int\limits_{2}^{t} \! \frac{1}{2}t^{2}+6t-10 \, \, dt=11.5 \end{align*}$

21.12.2014, 19:25

Mathema

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Man könnte um sicher zu gehen natürlich auch erstmal von [1,2] und [2,10] integrieren, um sich zu vergewissern, dass diese beiden Flächenstücke schon eine Fläche bilden, die größer als die gewünschte ist. Wenn dieses nicht der Fall wäre, müssten wir nämlich den Parameter t in das dritte Intervall ziehen, um an die "Restfläche" zu gelangen.

21.12.2014, 23:01

madarax

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jetzt hab ich alles verstanden danke leute :-)

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