Kongruenz (8x mod m = 3x mod n)

21.12.2014, 21:41

Shalec

Kongruenz (8x mod m = 3x mod n)

Hallo allerseits,

es geht um eine recht simple Aufgabe:
Es gibt zwei Module, in dem einen verläuft die Zeit 8x so schnell wie gewöhnlich und in dem anderen 3x so schnell.
Frage: Wann zeigen die in den Räumen aufgehangenen Uhren die identische Zeit an?

Raum 1: 8-fache Geschwindigkeit, Uhr Digital (24h)
Raum 2: 3-fache Geschwindigkeit, Uhr Analog (12h)

Ich hatte im Moment wie folgt überlegt:
1. Zerlege die Zeit in Sekunden -> $\begin{eqnarray*} 24h=86400s \end{eqnarray*}$ (so lässt sich in einem ganzzahligem Ring rechnen) [Ich weiß nicht welches Bug mein Taschenrechner da hatte..aber 24h != 34560]

2. Löse: $\begin{eqnarray*} 8x (mod\ 86400) \equiv 3x\ (mod\ 43200) \end{eqnarray*}$ für das gleiche x.

Zu den Fragen:
Erstmal: Wie würdet ihr diese Aufgabe angehen? (Grundlegende Strategien..)

2. Frage: Ist $\begin{eqnarray*} 4x (mod\ 43200) = 8x (mod\ 86400) \end{eqnarray*}$ ? (Habe in einer solchen Weise Kongruenzen noch nicht auflösen müssen. )
Mittels eine For-Schleife in Sage: Nein! Warum ist das nicht identisch? Gibt es ein gutes Skript, dass sich nur mit Kongruenzen, Chin.Restesatz und allem Notwendigen befasst?

3. Frage: Lässt sich diese Aufgabe nicht noch vereinfachen? Z.B. :
$\begin{eqnarray*} 8x \equiv 3\ (mod\ 86400) \end{eqnarray*}$
-> Auch das funktioniert nicht.

Gibt es einen Weg diese Aufgabe ohne Schleifen zu lösen? Direktes Lösen mittels guter Strategie?

Viele Grüße und vielen Dank vorweg

22.12.2014, 17:16

Shalec

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Der Code in Sage sieht dann so aus (über standalone.sagenb.org )

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

Zeit = [];
for x in range(1,86400/2+1):
    m=86400; n=m/2;
    if (8*x % m == 3*x % n):
        Zeit.append(x)
print ('h:m:s')
for Time in Zeit:
    h=floor(Time/(60*60)) % 24; m=round(Time/60) %60; s=Time % 60; 
    print('%s:%s:%s' %(h,m,s) )

Die Ausgabe enthält folgendes:

code:
1: 2: 3: 4:	h:m:s 7:12:0 9:36:0 12:0:0

Der Zeit-Array, in dem die Sekunden hinterlegt sind, sieht so aus:
[25920, 34560, 43200]

Und der ggT jedes Arrayelementes mit 86400 ist:
[8640, 17280, 43200]

Aber warum sind ausgerechnet diese Zahlen heraus gekommen?
Es ist: $\begin{eqnarray*} 3\cdot 8 \cdot 24 \cdot 60 = 24^2 \cdot 60 = 34560 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 25920 = 3\cdot 6\cdot24\cdot60 \end{eqnarray*}$

Hat jemand eine Idee oder weiß sogar warum ausgerechnet diese Zahlen die Lösung sind?

Viele Grüße

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