Summenfunktion von 128 Einzelsummen

22.12.2014, 13:35

DOD

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Summenfunktion von 128 Einzelsummen

Hallo,

ich muss eine Summe aus 128 Gleichungen bilden. Die Funktionen sind folgende.

$\begin{eqnarray*} D_{i}= \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW} \end{eqnarray*}$

i=1 bis 128, hab die 128 aber nicht über das Summenzeichen bekommen.

dabei ist $\begin{eqnarray*} N_{i} \end{eqnarray*}$ bekannt und

$\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{5} *N_{D} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$

Für i = 2 habe ich die Gleichung mal nach $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$ aufgelöst

$\begin{eqnarray*} s_{D}=s_{1}*s_{2}* (\frac{N_{D}*D}{N_{1}*s_{2}^{5}+ N_{2}*s_{1}^{5} })^{1/5} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun ob ihr eine Vereinfachungsmöglichkeit seht. oder sieht die Gleichung dann wie folgt aus.

$\begin{eqnarray*} s_{D}=s_{1}*...s_{128}* (\frac{N_{D}*D}{N_{1}*s_{2}^{5}+ ...N_{128}*s_{1}^{5}*...s_{128}^{5} })^{1/5} \end{eqnarray*}$

Danke schon mal für eure Hilfe

Gruß

Edit Guppi12: Was zusammengehört muss in Latex in {} gesetzt werden (z.B. bei der oberen Grenze des Summenzeichens). Korrigiert.

22.12.2014, 13:50

Guppi12

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Hallo,

da $\begin{eqnarray*} s_D \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ abhängt, hast du gute Karten. Du kannst in deiner Summe einfach mal $\begin{eqnarray*} N_{iW} \end{eqnarray*}$ ersetzen und dann $\begin{eqnarray*} s_D \end{eqnarray*}$ aus der Summe herausziehen.

@Leopold: Weiter unten steht $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , statt $\begin{eqnarray*} D_i \end{eqnarray*}$ . Vermutlich ein Schreibfehler.

22.12.2014, 13:51

Leopold

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RE: Summenfunktion von 128 Einzelsummen

Zitat:

Original von DOD
$\begin{eqnarray*} D_{\color{red} i}= \sum\limits_{\color{red} i \color{black} =1}^{128} N_{i} /N_{iW} \end{eqnarray*}$

Bevor hier Antworten gegeben werden, sollten erst die Verhältnisse geklärt werden. Wenn $\begin{align*} i \end{align*}$ als Summationsindex verbraucht ist, kann er nicht noch fungieren, um verschiedene Summenwerte zu unterscheiden.

Bitte korrigiere deine Angaben.

22.12.2014, 14:01

DOD

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Da hast du Recht. Es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} D = \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW}<br /> \end{eqnarray*}$

22.12.2014, 14:47

DOD

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Zitat:

Original von Guppi12
da $\begin{eqnarray*} s_D \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ abhängt, hast du gute Karten. Du kannst in deiner Summe einfach mal $\begin{eqnarray*} N_{iW} \end{eqnarray*}$ ersetzen und dann $\begin{eqnarray*} s_D \end{eqnarray*}$ aus der Summe herausziehen.

Hallo und danke für die Antwort.
Kannst du den Ansatz bitte ein wenig präzisieren. Kann nicht ganz folgen.

Gruß

22.12.2014, 14:50

Guppi12

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Naja, du hast doch

$\begin{eqnarray*} D = \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW}<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{5} *N_{D} \end{eqnarray*}$ .

Setz doch das eine mal in das andere ein. Was bekommst du dann?

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22.12.2014, 19:25

DOD

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Genau das habe ich ja gemaucht und dann nach $\begin{eqnarray*} S_{D} \end{eqnarray*}$ augelöst.

22.12.2014, 19:35

Guppi12

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Wenn du dein Zwischenergebnis nicht hinschreibst, kann ich auch nicht weiterhelfen, kann ja nicht hellsehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.12.2014, 21:22

DOD

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Sorry, hab mich vielleicht nicht ganz klar ausgedrückt.
Das Ergebnis für $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$ in meiner ersten Frage resultiert aus dem Einsetzen von

$\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{5} *N_{D} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} D_{i}= \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW} \end{eqnarray*}$

Die Frage war aber klar, oder?

22.12.2014, 22:18

Guppi12

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Zitat:

Die Frage war aber klar, oder?

Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du

$\begin{eqnarray*} D= \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW} \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} s_D \end{eqnarray*}$ auflösen. Das ist zumindest, was du oben gesagt hast.

Nun hast du dich da aber irgendwo verrechnet,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s_{D}=s_{1}*...s_{128}* (\frac{N_{D}*D}{N_{1}*s_{2}^{5}+ ...N_{128}*s_{1}^{5}*...s_{128}^{5} })^{1/5} \end{eqnarray*}$

ist jedenfalls nicht richtig. Sonst würdest du ja auch nicht nachfragen.

Da du nach mehrfachem Nachfragen deinen Rechenweg dazu nicht postest kann ich dir nicht weiterhelfen. Ich werde hier auch nicht mehr antworten, bis du das tust.
Warum muss ich dir das eigentlich aus der Nase ziehen, du willst doch was von mir, nicht umgekehrt. verwirrt

verwirrt

23.12.2014, 13:37

DOD

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War keine böse Absicht, höchstens Schreibfaulheit.
Jetzt nochmal von vorne.
Ich habe folgende zwei Gleichungen.

Glg 1: $\begin{eqnarray*} D_{i}= \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW} \end{eqnarray*}$

Glg 2: $\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{5} *N_{D} \end{eqnarray*}$

Bis auf $\begin{eqnarray*} N_{iW} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$ kenne ich alle Variablen.

Also habe ich Glg 2 in Glg 1 eingesetzt und nach $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$ aufgelöst wie folgt.
Um das Ganze überschaubar zu halten habe ich zunächst i=2 angenommen.

$\begin{eqnarray*} D= \frac{N_{1}} {(\frac{s_{1}} {s_{D}})^5*N_{D}}+ \frac{N_{2}} {(\frac{s_{2}} {s_{D}})^5*N_{D}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{D}*D=\frac{N_{1}} {(\frac{s_{1}} {s_{D}})^5}+ \frac{N_{2}} {(\frac{s_{2}} {s_{D}})^5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{D}*D=\frac{N_{1}*s_{D}^5}{s_{1}^5}+\frac{N_{2}*s_{D}^5}{s_{2}^5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{D}*D=\frac{N_{1}*s_{D}^5*s_{2}^5+N_{2}*s_{D}^5*s_{1}^5}{s_{1}^5*s_{2}^5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{D}=s_{1}*s_{2}* (\frac{N_{D}*D}{N_{1}*s_{2}^{5}+ N_{2}*s_{1}^{5} })^{1/5} \end{eqnarray*}$

Das ganze jetzt für i=128 durchzurechnen wäre ja schon ziemlich aufwendig.
Daher meine Frage, ober ihr eine Vereinfachungsmöglichkeit seht.

Gruß

23.12.2014, 14:04

Guppi12

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Wir reden irgendwie echt an einander vorbei. Ich schlage oben mehrfach den gleichen Schritt vor:

Zitat:

Du kannst in deiner Summe einfach mal $\begin{eqnarray*} N_{iW} \end{eqnarray*}$ ersetzen

Zitat:

Naja, du hast doch

$\begin{eqnarray*} D = \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW}<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{5} *N_{D} \end{eqnarray*}$ .

Setz doch das eine mal in das andere ein. Was bekommst du dann?

Oben sagst du, dass du das getan hast

Zitat:

Das Ergebnis für $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$ in meiner ersten Frage resultiert aus dem Einsetzen von

$\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{5} *N_{D} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} D_{i}= \sum\limits_{i=1}^{128} N_{i} /N_{iW} \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich heraus, dass du das keineswegs getan hast, sondern dabei gleichzeitig die Summe auf zwei Summanden beschnitten hast.

Wenn du das tatsächlich tust, kommt doch

$\begin{eqnarray*} D = \sum_{i=1}^{128}\frac{N_i}{\left(\frac{s_i}{s_D}\right)^5\cdot N_D} = \sum_{i=1}^{128}\frac{N_i}{\frac{{s_i}^5}{{s_D}^5}\cdot N_D} \end{eqnarray*}$ heraus.

Ob du nun weißt, wie man das ordentlich umformt ist ja eine andere Sache, dabei hätte ich dann geholfen. Aber das einfache Einsetzen hätte doch stattfinden können, nachdem ich 2 mal danach fragte oder nicht? Naja, haben wir uns halt missverstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jedenfalls kannst du dann beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} N_D \end{eqnarray*}$ multiplizieren und in der Summe die Regel anwenden, dass man einen durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Du brauchst dabei keineswegs die Summe irgendwie ausschreiben, die kann einfach so stehen bleiben. Du musst nur wissen, dass man konstante Faktoren (also solche, die nicht vom Summationsindex abhängen) einfach aus der Summe herausziehen kann, verallgemeinertes Ausklammern wenn man so will.

23.12.2014, 15:46

DOD

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Zitat:

Original von Guppi12

Jedenfalls kannst du dann beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} N_D \end{eqnarray*}$ multiplizieren und in der Summe die Regel anwenden, dass man einen durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Das hatte ich ja bereits gemaht. Ich war der Meinung, dass ich mir den Rechenweg besser veraunschaulichen kann wenn ich i von 128 auf 2 reduziere. Das ich nicht von i abhängige Faktoren aus der Summe herausziehen kann, war mir nicht mehr geläufig.

$\begin{eqnarray*} D = \sum_{i=1}^{128}\frac{N_i}{\frac{{s_i}^5}{{s_D}^5}\cdot N_D} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{D}*D=\sum\limits_{i=1}^{128} \frac{N_{i}*s_{D}^5 }{s_{i}^5 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{D}*D=s_{D}^5*\sum\limits_{i=1}^{128} \frac{N_{i}}{s_{i}^5 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{D}=N_{D} ^\frac{1}{5}*D^\frac{1}{5} *\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{128} \frac{N_{i}}{s_{i}^5 }} ^\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich zunächst
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{128} \frac{N_{i}}{s_{i}^5 } \end{eqnarray*}$
berechnen und dann oben einsetzen

Wäre schon eine ordentliche Vereinfachung.

23.12.2014, 15:49

Guppi12

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Jetzt ist es richtig Freude

Freude

23.12.2014, 16:08

DOD

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Na dann vielen Dank für die Geduld!

23.12.2014, 21:49

DOD

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Leider ist mein Problom damit noch nicht ganz gelöst und ich hänge schon wieder.
Es kann vorkommen, dass ab einem bestimmten Wert von $\begin{eqnarray*} s_{i} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N_{iW} \end{eqnarray*}$ mit einem anderen Exponenten wie 5 berechnet werden muss.

Damit komme ich auf folgende Gleichungen.

Glg 1: $\begin{eqnarray*} D= \sum\limits_{i=1}^{e} N_{i} /N_{iW}+ \sum\limits_{f=1}^{g} N_{f} /N_{fW} \end{eqnarray*}$

Glg 2: $\begin{eqnarray*} N_{iW}=(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{h} *N_{D} \end{eqnarray*}$

Glg 3: $\begin{eqnarray*} N_{fW}=(\frac{s_{f} }{s_{D} })^{l} *N_{D} \end{eqnarray*}$

Glg 2 und 3 ins 1 ergibt

$\begin{eqnarray*} D= \sum\limits_{i=1}^{e}\frac{N_{i}}{(\frac{s_{i} }{s_{D} })^{h} *N_{D}} + \sum\limits_{f=1}^{g} \frac{N_{f}}{(\frac{s_{f} }{s_{D} })^{l} *N_{D}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{D}*D=s_{D}^h*\sum\limits_{i=1}^e \frac{N_{i}}{s_{i}^h }+s_{D}^l*\sum\limits_{f=1}^g \frac{N_{f}}{s_{f}^l} \end{eqnarray*}$

Und dann verlässt mich mein können.
Mir fallen Sachen wie subtituieren und ausklammern ein, weiß aber nicht wirklich wie ich hier weiterkomme um nach $\begin{eqnarray*} s_{D} \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

23.12.2014, 22:14

Guppi12

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Das lässt sich im Allgemeinen nicht mehr nach s_D auflösen.

Letzten Endes hast du da eine Gleichung

Ax^h+Bx^l+C = 0 zu lösen. Bis zum Grad 4 gibt es dafür Lösungsformeln, danach nicht mehr.

23.12.2014, 22:30

DOD

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Ok.
Auf der einen Seite gut, da es nicht an mir liegt, auf der anderen Seite schlecht weil ich so nicht weiterkomme.

Nochmal danke und Gruß

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