Komplement einer Linearen Hülle

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roVka Auf diesen Beitrag antworten »
Komplement einer Linearen Hülle
Hallo sitze gerade an einer Aufgabe und komme einfach nicht wirlich weiter.

Die Aufgabe:
Sei die lineare Hülle der Vektoren
v1=(5,-1,4,8), v2=(1,0,1,2), v3=(3,-1,2,4), v4=(2,-1,1,2)

a) Finden Sie eine Basis von U, die aus einer Auswahl der Vektoren v1, v2, v3, v4 besteht.
b) Finden Sie ein Komplement W von U in . Geben Sie W durch eine Basis an.


zu a)
Habe mithilfe des Gauß-Alg. den Rang der Matrix ((v1) (v2) (v3) (v4)) bestimmt. Der ist zwei. Dadurch bin ich darauf gekommen das nur die Vektoren v1 und v2 linear unabhängig sind und dadurch die Basis dieser Linearen Hülle nur aus diesen zwei Vektoren besteht.



zu b)
Mir ist Klar, dass das Komplement W der Menge U (R4 ohne U).
Ich kann doch die Menge U also die Lineare Hüller der vier Vektoren jetzt auch auf die Lineare Hülle der zwei Basisvektoren reduzieren!
Nun komme ich nicht weiter da ich nicht weiß wie ich eine Menge konstruiere mit der oben geforderten Eigenschaft.

Ich hoffe mal mir kann trotz Vorweihnachtszeit jemand helfen, oder vielleicht gerade deswegen ;-)
roVka Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt noch etwas gefunden!

Nach dem Austauschsatz von Steinitz kann ich ja weitere Basisvektoren finden.
So habe ich jetzt die Basis mit den Vektoren erweitert.
Diese 4 Vektoren sind dann linear Unabhängig und bilden eine Basis im .

Kann ich jetzt sagen das die Lineare Hülle von w1 und w2 ein Komplement zu U ist?
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RE: Komplement einer Linearen Hülle
a) ist richtig
zu b) Ergänze B zu einer Basis von . Die beiden zusätzlichen Basisvektoren spannen dann ein Komplement von U auf.
Edit: Ah, du hast es selbst gefunden Freude
roVka Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem Danke!!!

Frohe Weihnachten ;-)
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