Grundfrage zu offenen Mengen

22.12.2014, 14:44

3asy

Grundfrage zu offenen Mengen

Hey,

ich hätte da mal eine grundlegende Frage zu offenen Mengen im topologischen Sinn:

Wieso ist eine offene Menge stets eine Umgebung all ihrer Punkte?

Mit sind die Definitionen von "offener Menge" und "Umgebung" bekannt:

1. eine Menge heisst offen, wenn sie Element einer Topologie ist
2. eine Menge V heisst Umgebung eines Punktes p, wenn es eine offene echte Untermenge U von V gibt, so dass p in U liegt.

Inwiefern ist nun eine offene Menge auch stets Umgebung ihrer Punkte?

Danke im Voraus!

22.12.2014, 15:01

Guppi12

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Hallo,

deine Verwirrung kommt vermutlich zustande, weil du nicht die richtige Definition einer Umgebung benutzt.

Zitat:

2. eine Menge V heisst Umgebung eines Punktes p, wenn es eine offene echte Untermenge U von V gibt, so dass p in U liegt.

Das Wort "echt" muss man hier streichen, zumindest, wenn man die übliche Definition haben will.

Benutzt man deine Definition ist es tatsächlich falsch, das eine offene Menge eine Umgebung all ihrer Punkte ist.

22.12.2014, 15:05

3asy

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Verdammt. Dann steht es wohl falsch in meinem Skript. Und ich habe schon gedacht dass ich irgendwas total Triviales übersehen habe.

22.12.2014, 15:12

Guppi12

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Es ist gut, dass du dir Gedanken machst. Ein Beispiel, wo es mit der falschen Definition schief geht, wäre beispielsweise die diskrete Metrik auf irgendeiner Menge. Dann ist die Einpunktmenge $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der Menge offen, es gibt aber sicherlich keine offene echte Untermenge, die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthält, also wäre $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ eine offene Menge, die nicht Umgebung für alle ihre Elemente ist.

22.12.2014, 15:22

3asy

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Zitat:

Original von Guppi12
Ein Beispiel, wo es mit der falschen Definition schief geht, wäre beispielsweise die diskrete Metrik auf irgendeiner Menge.

Meinst du hier vielleicht die diskrete Topologie anstelle von diskreter Metrik?

EDIT: Grad nochmal auf Wikipedia nachgeschaut. Die diskrete Topologie wird durch die diskrete Metrik erzeugt, also hast du wohl doch recht.

22.12.2014, 15:30

Guppi12

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Du hast trotzdem Recht. Ich wollte eigentlich diskrete Topologie schreiben. Keine Ahnung, warum da Metrik herauskam Big Laugh

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