Grenzwerte berechnen

22.12.2014, 19:38

DrHWI

Grenzwerte berechnen

Meine Frage:
Hallihallo,

ich habe eröffne nun zum gefühlten 500. Mal einen Thread zum Thema Grenzwertberechnung. Ich werde einfach nicht firm, was diesen Stoff angeht (aber der Wille zählt! Augenzwinkern

), also habe ich mir dieses Mal gleich eine Sammlung an Aufgaben herausgesucht, die mir auf Würgen und Brechen nicht gelingen wollen. Ich hoffe, das wird hier nicht als frech empfunden. Aber ich hielt es für praktischer, als für alle 4 eine einzelne Diskussion zu öffnen. Das werden dann auch meine letzten Fragen zur Grenzwertberechnung sein, da ich alle mir erhältlichen Aufgaben nun durchgearbeitet habe und genau diese 4 übrig geblieben sind und ich sie persönlich als unlösbar deklariert habe. Augenzwinkern

Genug der Worte! Ich würde mich sehr freuen, wenn es Leute gäbe, die mir hierbei wieder helfen würden. Habe nun schon mit sämtlichen Kommilitonen gesprochen, aber auch ihnen scheint das Thema nicht zu liegen, zumindest konnte auch niemand von ihnen mir bei den Aufgaben helfen.

Es handelt sich um folgende 4 Aufgaben:

a) $\begin{eqnarray*} G = \lim_{x \to 0} x*cot(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

Lösung G = 2

b) $\begin{eqnarray*} G = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan(x)}{tan(3x)} \end{eqnarray*}$

Lösung G = 3

c) $\begin{eqnarray*} G = \lim_{x \to 0} [\frac {1}{2}(e^{sin(x)}+e^{sin(5x)}]^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Lösung G = 20, 09

d) $\begin{eqnarray*} G = \lim_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^x \end{eqnarray*}$

Lösung G = $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erst einmal zu a)

$\begin{eqnarray*} G = \lim_{x \to 0}\frac{cot(\frac{x}{2})}{\frac{1}{x}}= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2sin(\frac{x}{2})}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{2sin(\frac{x}{2})}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{2*\frac{1}{2}*cos(\frac{x}{2})}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{cos(\frac{x}{2})}=\lim_{x \to 0}\frac{2}{-\frac{1}{2}sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

So, und damit würde ich einen Grenzwert von 0 erhalten, wenn mich nicht alles täuscht? unglücklich

Also habe ich irgendwo falsch abgeleitet? Oder einen anderen Fehler gemacht? Ich würde immer

22.12.2014, 19:47

bijektion

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Sieh dir erstmal nochmal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cot \end{eqnarray*}$ an Augenzwinkern

22.12.2014, 20:10

DrHWI

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Oh Gott, oh Gott, ein Quadrat vergessen. smile

Dennoch schaff ich's noch immer nicht auf die Lösung zu kommen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{sin^2(\frac{x}{2})}= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{-cos(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})*sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Und würde nun diesmal nicht auf den Grenzwert G = - 1 kommen? Hammer

22.12.2014, 20:42

bijektion

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Du kannst die Sache einfacher machen, indem du $\begin{eqnarray*} \cot x =\frac{\cos x}{\sin x} \end{eqnarray*}$ nutzt- damit erhälst du: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x\cdot\cot \frac{x}{2} = \lim_{x\to 0} x\cdot \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos \frac{x}{2}- \frac{x}{2}\cdot \sin\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}\cdot \cos\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ und bist schon fertig smile

22.12.2014, 20:54

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{sin^2(\frac{x}{2})}= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2*sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{-cos(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})*sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Der Nenner am Schluss stimmt nicht. Vielleicht hast du noch mit dem Faktor 2 im Nenner gearbeitet, den du eigentlich wegkürzen wolltest (wenn man den Zähler anschaut, kann man dir das zumindest unterstellen, dass du das vorhattest Augenzwinkern

).

Möglich wäre nach deinem zweiten Schritt auch sowas hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...inkelfunktionen

(Damit bin ich wieder raus, wollte nur den eigenen Weg des Fragestellers nicht außer Acht lassen)

22.12.2014, 20:57

DrHWI

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Wenn ich mich nur besser mit Trigonometrie auskennen würde.
Aber ich kann dir leider nicht ganz folgen. Wo ist dein x? Wie hast du abgeleitet? smile

22.12.2014, 21:02

bijektion

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Zitat:

Aber ich kann dir leider nicht ganz folgen. Wo ist dein x? Wie hast du abgeleitet? smile

Das fällt einmal weg wegen der Produktregel, das andere steht im Zähler.

22.12.2014, 21:13

DrHWI

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Ich bin nun inzwischen über meinen eigenen Weg tatsächlich auf die Lösung gekommen. Das andere Mitglied hatte Recht, ich habe tatsächlich halbwegs Faktor 2 in meine Ableitung miteinbezogen. Aber bitte erläutere mir deinen doch nochmal. Es tut mir leid, aber ich kann nicht folgen. Wo stellst du den Ausdruck 0/0 bzw. unendlich/unendlich her, um dann abzuleiten? x*cos(x)/sin(x) wäre doch 0*0, oder? Und wenn du u = x und v= cos(x)/sin(x) deklarierst, müsste es dann nicht nochmals in der Ableitung auftauchen? Oder leitest du es getrennt ab, so wie es de l'Hôspital verlangt?
Tut mir leid, aber anscheinend brauche ich einen Wink mit dem Zaunpfahl. Augenzwinkern

EDIT: Aaaah! Ich habe das x in deiner Rechnung gefunden! Jetzt wird alles klarer.
Trotz allem: Wo existiert der Audruck 0/0 oder unendlich/unendlich?

22.12.2014, 21:15

bijektion

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Zitat:

Oder leitest du es getrennt ab, so wie es de l'Hôspital verlangt?

Ja, wieso normal? $\begin{eqnarray*} x\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{x\cdot\cos x}{\sin x} \end{eqnarray*}$ und dann L'Hospital.

22.12.2014, 21:57

DrHWI

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Alles klar, das war jetzt tatsächlich ein Wink mit dem Zaunpfahl. Aaaaber immerhin habe ich es nun verstanden. Augenzwinkern

Ich würde nun mit dem nächsten Thema weitermachen wollen. smile

b)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan(x)}{tan(3x)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos^2(x)}{cos^2(3x)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2*cos(x)*(-sin(x))}{6*cos(3x)*(-sin(3x))}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)*(-sin(x))}{3*cos(3x)*(-sin(3x))}= \frac{-sin(x)*(-sin(x)+cos(x)*(-cos(x))}{-3*3*sin(3x)*(-sin(3x))-3*3*cos(3x)*cos(3x)} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme also schon wieder ein heilloses Durcheinander heraus mit einem Grenzwert von G = 1/9. unglücklich

22.12.2014, 22:41

Bjoern1982

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Mal ein kleiner Tipp:

Wenn solch monströse Terme entstehen, dann sagt dir das meist, dass es auch weitaus leichter gehen müsste oder du auf dem Holzweg bist Augenzwinkern

Bei trigonometrischen Funktionen helfen auch oft die oben von mir verlinkten Additionstheoreme weiter zur Vereinfachung (insbesondere auch die Doppelwinkelfunktionen).

Nun zu deiner Aufgabe:

Deine Ableitungen beim ersten Mal L'Hospital stimmen leider schon nicht so ganz.
Was ist denn bei dir die Ableitung von tan(x) und von tan(3x) ?

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