Exponentieller Fit

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DerZyklope Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentieller Fit
Hallo Zusammen

Zuerst einmal: Ich weiss nicht, in welches Thema der Hochschulmathematik diese Frage gehört. Wenn es hier falsch ist, bitte verschieben.

Nun zur Frage:
Ich habe bei einer Messung einen Datensatz (weiter unten) aufgenommen. Dieser soll mit der Funktion y=a*x^b gefittet werden. Dies hab ich mit der RKP-Funktion von Excel gemacht. Zusätzlich noch online auf xuru.org. An beiden Orten bekomme ich die Lösung mit a=2901 und b=-0.7145. Die Residual Sum of squares beträgt 115690

Das Problem kommt jetzt: wenn ich mit dem Solver "Von Hand" rechne, dann bekomme ich folgende Lösung: a=2669, b =-0.6607. Bei der selbstgebastelten Lösung ist die resudual sum of squares lediglich 58775.

Frage1: Welche Lösung ist nun korrekt
Frage2: Woher kommt der Unterschied

Vielen Dank für euren Input und Hilfe be der Ursachensuche

DerZyklope


Datensatz
x-Wert y-Werte
1.11834 2368
2.07972 1741
3.03129 1397
3.99267 1163
5.03253 979
5.94486 831
6.84738 734
8.00496 652
8.95653 600
9.97677 559
10.93815 519
11.82105 494
12.93939 471
13.86153 445
14.85234 417
15.90201 395
17.05959 375
17.8542 362
18.81558 347
20.08107 340
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die von Excel mittels Trendanalyse ermittelte Trendfunktion hat einen etwas besseren Korrelationskoeffizienten r = 0,997 (Bestimmtheitsmaß r² = 0,994), währenddessen die manuell mittels Solver berechnete Funktion ein r = 0,994 (r² = 0,9898) aufweist.
Umgekehrt hat die mittels Solver berechnete Funktion tatsächlich eine geringere Quadratsumme.

Ob der der Grund in den unterschiedlichen Berechnungsweisen bei der Regressionsanalyse liegt, d.h. entweder der Korrelationskoeffizient optimiert wird (er soll möglichst nahe an 1 liegen) oder die Quadratsumme minimiert wird, kann nicht mit Bestimmtheit gesagt werden.
Eigentlich sollten beide Wege das gleiche Resultat liefern.
Die Differenz bei den unterschiedlichen Berechnungsweisen kann auch einfach ganz banal in Rundungsfehlern ihre Ursache haben. Immerhin sind die Quadrate der Differenzen relativ groß und der Solver hat nur einen begrenzten Genauigkeitsbereich.
Auf der anderen Seite unterscheiden sich die Korrelationskoeffizienten nur hauchdünn ..

Die Graphen unterscheiden sich dabei ebenso auch nur wenig, wie man sieht.

[attach]36555[/attach] [attach]36557[/attach]

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied der beiden Ergebnisse erklärt sich anders. Mit dem Solver wurde tatsächlich ein Least-Square-Fit für die Funktion gemacht. Die Excelfunktion RKP macht etwas anderes. Sie macht einen Least-Square-Fit für die logarithmierte Funktion , wobei und als die Variablen betrachtet werden. Ausgegeben wird (nicht ) und . Die Summe der Abweichungsquadrate bezüglich der ursprünglichen Funktion ist dabei natürlich größer als bei dem Solverergebnis, da die Minimierung der Abweichungsquadrate für eine andere Funktion durchgeführt wird.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So weit so gut ( /schlecht?), aber verständlich ist das nicht. Der Weg über den Logarithmus müsste doch - nach dem entlogarithmieren (die Funktion durch Rückgängmachen wiederherstellen) das gleiche Ergebnis liefern.
Wie dem auch sein, die Resultate sind ja praktisch gleich.
In das Beispiel weiter versenken werde ich mich jetzt nicht (war ja eh schon genug, das Ganze so weit aufzubereiten), umso mehr, da sich ja der Zyklope möglicherweise auch nicht mehr meldet.

mY+
DerZyklope2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Zusammen

Zuersteinmal vielen Dank für die Antworten und Entschuldigung für die späte Antwort meinerseits!

Die Interpretation, dass mit dem Eingebauten Fit der Korrelationskoeffizient optimiert wird und nicht die Quadratsumme scheint auf den ersten Blick plausibel. Ob dies auch vernünftig ist sei einmal dahin gestellt. Ich werde nächste Woche noch ein paar andere Beispiele durchrechnen um diese Vermutung zu bestätigen bzw. widerlegen.

Ebenso werde ich die logarithmierte Funktion "von Hand" rechnen und hoffe, dass nicht noch eine 3te Lösung dabei herauskommt smile

Zum Thema Rundungsfehler: Ich könnte mir auch gut vorstellen, dass der Solver von Excel einfach zuwenig "genau" rechnet. Vielleicht gibt es die Möglichkeit, dem Solver mehr Kommastellen zur Verfügung zu stellen..?

Vielen Dank für eure Hilfe und Ideen

DerZyklope (der nicht eingeloggt ist) smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu sehen, was Excel macht, empfiehlt sich ein Beispiel mit wenigen Daten, das aber Unterschiede klar hervorbringt. Ich habe mal folgende (x,y)-Werte verwendet:

(1,1), (2,2), (3,100)

Die Excelfunktion RKP liefert als Anpassung



Wenn man ein Diagramm erstellt und diesem eine exponentielle Trendlinie hinzufügt, erhält man dieselbe Anpassung in leicht anderer Darstellung, nämlich



Wendet man auf die Datenpaare (x, ln y) die Excelfunktion RGP an, erhält man die Anpassung



Dies exponiert ist wieder das obige Ergebnis für RKP bzw. exponentielle Trendlinie. RKP wendet also die Methode der kleinsten Quadrate an, um an die Datenpaare (x, ln y) eine lineare Funktion anzupassen. Diese wird dann exponiert.

Wendet man dagegen die Methode der kleinsten Quadrate mit dem Solver auf die (x, y)-Datenpaare an mit einer Funktion



erhält man



Das unterscheidet sich deutlich von der Anpassung mit RKP und ist eine wesentlich bessere Anpassung. Den Solver sollte man je nach Güte der Anfangswerte 2 oder 3 mal hintereinander anwenden, wobei man das Ergebnis jeweils als neue Anfangswerte benutzt.
 
 
DerZyklope Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy

Ich habe die Berechnungen nachvollzogen und komme zu gleichen Schluss.
Fazit: Der Exponentielle Fit ist in Excel nicht korrekt implementiert, bzw. funktioniert nicht nach den kleinsten Quadraten der Exponentialfunktion .

Peinlicherweise hatte ich den Titel des Threads falsch gewählt!
Wie Beschrieben möchte ich den Datensatz mit der Funktion fitten, dies ist natülich ein "potentieller Fit" (Super Name)
Auch der Fit mit einer Potenzfunktion ist in Excel falsch implementiert, es wird die Funktion gefittet und kommt so zu einem falschen Ergebnis (Analog zum exponentiellen Fit).

Fazit: Excel ist fürs Daten Fitten keine Hilfe, wenn es nicht eine lineare Funktion ist... Irgendwie schade (und peinlich für Microsoft)...

Edit Guppi12: Auf Wunsch von DerZyklope editiert
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerZyklope
Fazit: Excel ist fürs Daten Fitten keine Hilfe, wenn es nicht eine lineare Funktion ist... Irgendwie schade (und peinlich für Microsoft)...

Das kann man so nicht sagen. Es gibt ja kein Dogma, dass die Methode der kleinsten Quadrate die einzig "richtige" oder "angemessene" Methode zum Anpassen funktionaler Zusammenhänge an Daten ist. Die von Microsoft implementierte Methode, die Anpassung bei einem Exponentialansatz oder bei einem Potenzansatz an den Datenpaaren bzw. für die logarithmierte Funktion vorzunehmen, hat - abhängig von der Problemstellung - durchaus ihre Berechtigung. Das wird nicht nur von Microsoft so gemacht. In der Hilfefunktion zu RKP beschreibt Microsoft auch korrekt, was gemacht wird. Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich das erst jetzt mal komplett durchgelesen habe.

Wenn man allerdings die Methode der kleinsten Quadrate bei obigen Ansätzen für die nicht logarihmierten Datenpaare und die nicht logarihmierte Funktion haben möchte, kann man die RKP-Funktion nicht benutzen. Dann sollte man den Solver bemühen.
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