Berechnung der Pseudoinverse

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25.12.2014, 13:05	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Pseudoinverse Meine Frage: Hallo, ich habe eine 4x3-Matrix mit Rang 2, von der ich die Pseudoinverse berechnen soll. Da weder die Matrix noch die transponierte Matrix einen vollen Spaltenrang hat, kann ich die Pseudoinverse nicht mit der Formel berechnen. Bei Wiki steht, dass ich die Matrix in eine m x k Matrix B und eine k x n Matrix C (wobei m die Zeilenanzahl, n die Spaltenanzahl und k den Rang bezeichnet) zerlegen soll und dann kann ich die Pseudoinverse leicht berechnen. Aber wie kann ich die Matrix zerlegen? Sie ist ja nicht quadratisch. Danke. Die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
25.12.2014, 19:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Die Zerlegung einer Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in das Produkt von Matrizen $\begin{eqnarray} B,C \end{eqnarray}$ hat doch überhaupt nichts damit zu tun, ob die Ausgangsmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ quadratisch ist oder nicht Sie besagt doch nur, dass man $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ als Produkt von $\begin{eqnarray} B,C \end{eqnarray}$ schreiben soll: $\begin{eqnarray} A=BC \end{eqnarray}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ enthält in dem Fall alle linear unabhängigen Spalten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ enthält die Spaltenumformungen, mit denen man aus der Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gewinnt.
25.12.2014, 19:28	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Ich wollte damit nur sagen, dass man keine LR-Zerlegung durchführen kann. B hätte dann nur einen Spaltenvektor, oder?
25.12.2014, 19:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Wie sollte denn dann bei Multiplikation eine 4x3-Matrix herauskommen?
25.12.2014, 19:38	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Okay, dann müssen es zwei Vektoren sein, aber dann ist es nicht eindeutig, oder? B kann ja dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Wie bekomme ich dann C?
25.12.2014, 19:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Es ist nicht eindeutig, das ist richtig. Mach dir klar, das das Ergenis der Multiplikation einer Matrix A von rechts mit einem Spaltenvektor wieder ein Spaltenvektor ist (trivial), der aus einer Linearkombination der Spalten von A besteht. Das kann man sich bequem am Beispiel einer 2x2-Matrix aufschreiben, um das Prinzip zu verstehen.
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25.12.2014, 20:04	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Okay, das ist klar, denn $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
25.12.2014, 20:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Wenn das klar ist, dann ist es auch offensichtlich, wie man z.B. die Spalten von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kombinieren muss, um $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu erhalten. Edit: Man muss natürlich überlegen, wie man jede einzelne Spalte der Zielmatrix erhält.
25.12.2014, 20:43	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Danke, ich hab das richtige herausbekommen. $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Rest ist Rechnen.
03.01.2015, 14:33	herry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Aber wie lässt sich denn die Formel aus wiki verifizieren?
03.01.2015, 16:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Wenn du vielleicht etwas präziser fragen möchtest.
05.01.2015, 12:41	herry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Pseudoinverse Danke, ich bin bereits auf die Antwort gestoßen. Es ging um die letztendliche Berechnung der Pseudoinversen aus den Matrizen B und C mit A = BC ...

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