6 Funktionen Komposition |
| 25.12.2014, 14:20 | Hamid-m | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| 6 Funktionen Komposition Habe die Frage als Anhang hochgeladen. Meine Ideen: i) Ist das richtig wenn ich jeweils für f1 für den Df und Wf reelle Zahlen (R) R --> R, für f2 das gleiche. f3 R* --> R*, f4 R* --> R\{1}, f5 R\{1} --> R*, f6 R\{1} --> R\{1} habe? ii) hier habe ich folgendes: (f1°f2°f3°f4°f5°f6)(x)=f1(f2(f3(f4(f5(f6(x)))))) wäre das richtig so? Zudem weiß ich nicht wie ich zeige, dass es sich um eine abelsche Gruppe handelt. Freue mich auf jede Unterstützung, die ich bekommen kann. |
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| 25.12.2014, 15:33 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zu i) Wenn ich das richtig verstehe (und so passt es dann auch besser zum zweiten Teil), musst du genau einen Definitions- und einen Wertebereich angeben, sodass alle Funktionen bijektiv sind. Überlege dir also noch mal, für welchen gemeinsamen Definitions- und für welchen gemeinsamen Wertebereich das für alle Funktionen erfüllt ist. (Anschließend sollte man wohl auch noch die Bijektivität zeigen bzw. teilweise sollte eine einfache Begründung ja ausreichen.) zu ii) Du hast hier nur die Definition der Komposition angegeben, sonst gar nichts. Es geht hier doch darum, zu zeigen, dass etwas eine Gruppe ist. Dafür gibt es sogenannte Gruppenaxiome, deren Gültigkeit man hier zeigen muss. Die Verknüpfung ist eben die Komposition. Damit rechnest du die drei Gruppenaxiome (und die Vollständigkeit, d.h. die Komposition zweier Funktionen aus der Gruppe ist wieder in der Gruppe) nach. Anschließend kannst du genauso noch zeigen, dass die Gruppe abelsch ist. |
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| 25.12.2014, 19:18 | hamid-m | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also zu i) weiß ich echt nicht wie ich das mathematisch richtig ausdrücken kann. Ich würde sagen: R\{0,1} --> R\{0,1} oder -1>=R>1 ? Um dann zu zeigen, dass sie bijektiv sind würde ich einfach injektiv definieren: für alle x aus R\{0,1} (x ungleich y) und dann surjektiv: für alle y aus R\{0,1} existiert mindestens ein x aus R\{0,1}. ????? Wenn das erfüllt ist dann müssten die Funktionen bijektiv sein oder nicht? zu ii) muss ich sagen, dass ich echt auf dem Schlauch stehe 
Ich weiß zwar, dass ich folgende Axiome zeigen muss: abgeschlossen, assoziativ, neutrales Element und inverse. Aber ich habe keinen Ansatz wie ich vorgehen muss. |
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| 25.12.2014, 19:52 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das sieht doch ganz gut aus auf den ersten Blick. Wir halten also fest . Was jedoch
bedeuten soll, verstehe ich nicht ganz, am besten, wir streichen das einfach.
"Definieren"? Die Begriffe sind doch schon definiert. Für Injektivität einer Funktion f muss man zeigen, dass aus f(x)=f(y) schon x=y folgt, wobei (bzw. gibt es andere äquivalente Definitionen). Für Surjektivität stimmt das, was du gesagt hast, es fehlt am Ende nur "sodass f(x)=y", sonst hat das nicht die richtige Bedeutung. Diese Dinge kann man grundsätzlich ganz leicht zeigen, bei der Funktion ist z.B. fast gar nichts zu tun.
Hast du noch nie nachgerechnet, dass "etwas" eine Gruppe ist? Für die Abgeschlossenheit z.B. nimmt man sich zwei Elemente, hier also zwei Funktionen her, verknüpft diese mit der Komposition und zeigt (indem man das ausrechnet), dass das Ergebnis wieder eine der 6 vorgegebenen Funktionen, und damit ein Element der Gruppe ist (das ganze funktioniert indes nur mit dem in i) ermittelten Definitions- und Wertebereich!). Das tut man dann nach und nach für alle Möglichkeiten, wie man die 6 Funktionen per Komposition verknüpfen kann. Genau auf dieselbe Weise kann man Assoziativität zeigen und die Existenz eines neutralen und eines inversen Elements. Das ist insgesamt viel Arbeit... teilweise kann man sicherlich auch einfacher argumentieren, aber wenn du dich mit Gruppen nicht auskennst, sollten zumindest mal die grundlegenden Dinge, wie man solche Beweise führt, angegangen werden, bevor man weiterdenkt. |
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| 25.12.2014, 22:18 | hamid-m | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dankeschön erstmal für die schnelle Antwort 
es wird auf jeden Fall einiges klarer!ist hier mit Komposition gemeint: f1(f2(f3(f4(f5(f6(x))))))? wenn "ja" dann verstehe ich deinen Satz so, dass ich z.B. f1 & f2 miteinander verknüpfe und dann f1(f2(x)) quasi in die von mir genannte Komposition packe richtig? oder ist das so zu verstehen, dass ich jeweils f1(f2(x)) dann f1(f3(x), f1(f4(x) usw. dann f2(f3(x) etc. also immer 2 Funktionen nehme und alle Kombinationen ausprobiere und jeweils mit jeder entstandenen 2er-Komposition die Axiomen checke? |
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| 25.12.2014, 22:40 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das hier ist gemeint, funktioniert so aber nur bei Abgeschlossenheit. Bei den anderen Axiomen wird ja etwas anderes verlangt: Bei Assoziativität nimmst du dir drei Elemente, hier also Funktionen, und prüfst, ob eine unterschiedliche Klammerung keine Auswirkungen hat (genauer: Damit Assoziativität vorliegt, muss z.B. gelten, ebenso alle anderen Kombinationen - hier muss man aber nicht alle nachrechnen, sondern kann auch einfacher argumentieren, warum Klammerung hier keine Rolle spielt). Beim neutralen Element musst du ein Element (=eine Funktion) finden, dass bezüglich der Komposition neutral wirkt, also eines, das man mit jedem anderen Element komponieren kann, ohne dass sich etwas ändert. Hinweis: Eine der 6 gegebenen Funktionen muss schon das neutrale Element sein. Was du für die Existenz eines inversen Elements tun musst, überlasse ich an der Stelle dir; eigentlich sollte das klar sein, wenn man die vorherigen Schritte verstanden hat. 
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