Volumenberechnung mittels Dreifachintegralen von Zylindern

27.12.2014, 17:23

Philorip

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Volumenberechnung mittels Dreifachintegralen von Zylindern

Meine Frage:
Moin,Moin ich bin gerade dabei mich auf meine Mathe 3 Klausur vorzubereiten und kriege absolut Volumen-,Schwerpunkt- und Masseberechnungen nicht auf die Reihe.

ich gebe mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} K = (x, y, z) \in R:<br /> x^{2} + y^{2} \leq 1 , 0\leq z\leq x-y+2 \end{eqnarray*}$

Aufgabe: a) Zeichnen Sie die drei Schnittfl¨achen von K mit den Koordinatenebenen x = 0, y = 0 und z=0 (2Punkte)
b) Berechnen Sie das Volumen von K. (5Punkte)
Das Ergebnis für b ist 2?.

Meine Ideen:
Ich hatte noch keine wirklich Idee das zu lösen. Ich denke mal es handelt sich um einen Zylinder und die Grenze phi wird von 0 bis 2pi verlaufen , z wird von 0 bis der Funktion verlaufen aber für p(roh) habe ich keine Ahnung was ich einsetzen soll.

28.12.2014, 13:26

bijektion

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Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ~| ~x^2+y^2\leq 1 \text{ und }0\leq z \leq x-y+2\right\} \end{eqnarray*}$ ist?

In dem Fall könntest du dann $\begin{eqnarray*} K_x=\left\{ (y,z)\in\mathbb{R}^2 ~| ~ (x,y,z)\in K\right\} \end{eqnarray*}$ setzen und es gilt $\begin{eqnarray*} \mathrm{vol}(K)=\int_{-1}^1 \mathrm{vol}(K_x) \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

28.12.2014, 14:06

Phipsor

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Ich bin Philorip , konnte mit meinem Account irgendwie nicht antworten ...w/e

Danke für die Antwort^^

Aber warum kann man die Grenzen von 0 bis 1 so einfach festlegen ( Ist die Grenze 0 bis 1 einfach nur der Raidus von der Kreisfunktion?)? Und wie sehen die anderen Integrationsgrenzen aus? Könntest Du mir das bitte noch genauer erläutern?

MfG Phil.

28.12.2014, 14:09

bijektion

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Ich habe noch editiert, die Grenzen müssen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Aber warum kann man die Grenzen von 0 bis 1 so einfach festlegen ?

Was passiert denn, wenn $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ ? Welche $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ darfst du dann noch wählen?

Zitat:

Und wie sehen die anderen Integrationsgrenzen aus?

Hier kannst du nun rekursiv vorgehen. Die Menge $\begin{eqnarray*} K_x \end{eqnarray*}$ kannst du erstmal in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ angeben.

28.12.2014, 14:26

Phipsor

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Entschuldigung, ich kann dir absolut nicht folgen. traurig

traurig

Was meinst du mit x>1 ? Was sollte dann mit y passieren?

Hier kannst du nun rekursiv vorgehen. Die Menge $\begin{eqnarray*} K_x \end{eqnarray*}$ kannst du erstmal in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ angeben.

das verstehe ich auch nicht.

wir haben das ganz anders gemacht oder ich bin einfach zu doof. Y.Y

wir haben uns die einzelnen Grenzen von jedem Integral separat aufgeschrieben und das würde ich gerne auch hier mal machen .

Wie gesagt ich habe keine Ahnung wie ich es machen soll. Bei Flächenintegralen finde ich das ja ganz einfach.

28.12.2014, 14:32

bijektion

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Zitat:

Was meinst du mit x>1 ? Was sollte dann mit y passieren?

Ich hab auch $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Für $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\in K \end{eqnarray*}$ muss mindestens $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ gelten; ist $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ , so gibt es keine $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mehr, sodass $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist doch klar oder?
Also ist es legitim $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur zwischen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ laufen zu lassen.

Zitat:

Hier kannst du nun rekursiv vorgehen. Die Menge $\begin{eqnarray*} K_x \end{eqnarray*}$ kannst du erstmal in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ angeben.

Du kennst $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Was kann jetzt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sein? Das erhälst du wieder aus der Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

wir haben uns die einzelnen Grenzen von jedem Integral separat aufgeschrieben und das würde ich gerne auch hier mal machen .

Wie separat aufgeschrieben?
Ich würde hier das Prinzip von Cavalieri anwenden, wenn du es anders willst musst du mir schon sagen wie.

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28.12.2014, 14:45

Phipsor

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Okay ich danke dir erstmal für deine Geduld mit mir.
Ich verstehe jetzt warum wir x von -1 bis 1 laufen lassen.

Wir hatten das Prinzip von Cavalieri nicht bzw. ist es nicht in unserem Skript zu finden.

Wir haben das Ganze in Zylinderkoordinaten überführt und die Grenzen dann dort beschrieben oder in Kugelkoordinaten wenn es eine Kugel ist. Und dann nach phi,p und z integriert ,wobei das dann noch mit dem Wert der sich aus der Funktionaldeterminante ergibt multipliziert wurde . Also bei Zylindern dann mit p.

28.12.2014, 14:51

bijektion

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Also benutzt ihr den Transformationssatz?

28.12.2014, 14:54

Phipsor

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Ja genau. Wir nennen das Transformationsformel aber das macht glaube keinen Unterschied .^^

30.12.2014, 12:16

bijektion

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Okay, dafür braucht du ja erstmal einen geeigneten Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} G: D\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G(D)=K \end{eqnarray*}$ .
Hast du da schon einen?

30.12.2014, 15:18

Phipsor

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Nein habe ich leider nicht .
Ich bin mir auch nicht ganz sicher was du damit meinst Y.Y

30.12.2014, 15:20

bijektion

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Was wisst ihr denn über den Transformationssatz?

30.12.2014, 16:18

Phipsor

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Naja wir haben halt Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten eingeführt.

Dann wurde jeweils der "Korrekturfaktor" erklärt , also wo der herkommt. Danach wurde ,dass Phi die Längengerade beschreibt, Theta den Höhenwinkel und r den Radius von der Kugel.
Bei der Kugel ist x=r*sin(theta)*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)
z=r*cos(theta)
Das Ganze halt noch für den Zylinder. Aber das war es dann auch . Ich schaue jetzt in die Altklausuren und bin damit völlig überfordert ,weil ich mir aus den Gleichungen auch kaum einen Körper vorstellen kann , ich erkenne zwar schon die Kreisgleichung aber das war es dann auch.

02.01.2015, 15:00

Phipsor

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.push.

02.01.2015, 17:15

Leopold

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Die Ungleichung $\begin{align*} x^2 + y^2 \leq 1 \end{align*}$ beschreibt in der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene einen Kreis. Oberhalb dieses Kreises befindet sich eine ebene Fläche, nämlich der Graph der Funktion

$\begin{align*} z = f(x,y) = x-y+2 \end{align*}$

Fährt man von irgendeinem Kreispunkt senkrecht nach oben, bis man bei der ebenen Fläche anstößt (das ist die Interpretation von $\begin{align*} 0 \leq z \leq f(x,y) \end{align*}$ ), so bilden die Punkte, bei denen man auf diese Weise vorbeikommt, den Körper $\begin{align*} K \end{align*}$ . Es handelt sich bei $\begin{align*} K \end{align*}$ also um einen oben schräg abgeschnittenen Zylinder. Bei der Berechnung braucht man sich nicht zu verkünsteln. Wenn man die Linearität des Integrals verwendet, erhält man:

$\begin{align*} V(K) \ \ = \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 1} (x-y+2) ~ \dd(x,y) \ \ = \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 1} x ~ \dd(x,y) \ \ - \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 1} y ~ \dd(x,y) \ \ + \ \ 2 \ \cdot \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 1} \dd(x,y) \end{align*}$

Da der Integrationsbereich $\begin{align*} x^2+y^2 \leq 1 \end{align*}$ invariant gegen eine Vertauschung von $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ ist, haben in der Summe oben die beiden ersten Integrale denselben Betrag. Sie heben sich daher gegenseitig weg. Das letzte Integral erhält man auch, wenn man den Flächeninhalt des Einheitskreises berechnen will. Es hat daher den Inhalt $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Lange Rede, kurzer Sinn:

$\begin{align*} V(K) = 2 \pi \end{align*}$

03.01.2015, 10:59

Phipsor

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Danke für deine Antwort.

Und wie sieht das aus wenn man das mit der Transformationsformel löst?
Das ist ja nur ein Beispiel , was in diesem Fall sich so leichter lösen lässt. Aber die anderen Aufgaben zielen darauf ab ,dass man sie mit der Transformationsformel löst . Ich bräuchte eine "Musterlösung" dazu , damit ich das ganz nachvollziehen kann Big Laugh

Big Laugh

.

03.01.2015, 12:07

Leopold

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Du verwendest Polarkoordinaten

$\begin{align*} x = r \cdot \cos t \, , \ \ y = r \cdot \sin t \end{align*}$

beachtest, daß $\begin{align*} \dd(x,y) \end{align*}$ durch $\begin{align*} r ~ \dd(r,t) \end{align*}$ ersetzt werden muß, und integrierst beim Einheitskreis $\begin{align*} r \end{align*}$ von $\begin{align*} 0 \end{align*}$ bis $\begin{align*} 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} t \end{align*}$ von $\begin{align*} 0 \end{align*}$ bis $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ .

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