Ebene, Parameter bilden rechtwinkliges KS

27.12.2014, 18:40

Lorli

Ebene, Parameter bilden rechtwinkliges KS

Meine Frage:
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich ein paar Schwierigkeiten:
Eine Ebene e ist gegeben durch die drei Punkte A(6,2,2) B(5,3,3) C(3,4,5).
a)Erstellen Sie für e eine Beschreibung in Parameterform.
b)Erstellen Sie für e eine Parameterform so, dass die beiden Parameter ein rechtwinkliges Koodinatensystem mit jeweils der Längeneinheit 1 beschreiben.
c)Erstellen Sie eine Gleichung für die Gerade g, die durch Schnitt von e mit der zx-Ebene des Koordinatensystems entsteht.

Meine Ideen:
Ich schreibe mal das auf, was ich bisher habe.
a) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b)hier weiß ich leider überhaupt nicht weiter..

c)e1(parameterform von a in Koordinatenform): -y+z=0
e2(zx-Ebene):y=0
Dann würde ich y in e1 einsetzen und erhalte dann für z auch null. Wie ich damit zu einer Geradengleichung kommen soll, ist mir allerdings schleierhaft.

27.12.2014, 19:03

Bjoern1982

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zu a) Schau nochmal genau auf die z-Koordinate deines zweiten Richtungsvektors.

zu b) Gemeint ist wohl, dass du wiederum eine Parameterform für e aufstellen sollst, nur dieses Mal mit der Bedingung, dass die beiden Richtungsvektoren zum einen senkrecht zueinander stehen und dazu noch die Länge 1 haben (man spricht auch von Normierung und insgesamt damit von einer so genannten Orthonormalbasis). Schlecht ausgedrückt finde ich bei der Aufgabe, dass die Parameter da ein Koordinatensystem beschreiben sollen, denn die Richtungsvektoren beschreiben etwas, nicht aber die Parameter.

zu c) Da eine Koordinate im Richtungsvektor nicht stimmt (siehe a) ) stimmt die Koordinatenform leider auch nicht. Es reicht aber ebenso, wenn man y=0 in die Parameterform von e einsetzt und das dadurch entstehende LGS löst.

27.12.2014, 20:43

Lorli

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Danke schonmal.
zu a)Stimmt, eine Drei sollte das sein.
zu b) Mir ist noch immer nicht klar, was bei der Aufgabe gemacht werden muss. Wenn r und s beide null sind, dann ist es doch rechtwinklig, oder nicht?

zu c) Wie löse ich denn das GLS (bei der Parameterform)? Sind dort nicht zu viele Unbekannte?
Aber auch wenn ich bei der Koordinatenform bleibe, klappt es irgendwie nicht. Meine Koordinatengleichung lautet x+z=8. Also kann ich y ja gar nicht einsetzen.

27.12.2014, 21:07

Bjoern1982

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zu b) Ich dachte beim Stichwort Orthonormalbasis klingelt bei dir vielleicht was (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren), weil ihr das in der Vorlesung hattet, offenbar aber dann wohl nicht. Augenzwinkern

Mit den Parametern muss überhaupt nichts gemacht werden. Man muss - wie bereits erwähnt - neue Richtungsvektoren bestimmen. Und zwar so, dass sie die ebenfalls erwähnten Eigenschaften haben. Dieselbe Ebene kann man ja durch unendlich vielen Paare von Richtungsvektoren aufspannen. Eine Möglichkeit davon sind die beiden Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \ \text{und} \ \vec{v}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus Aufgabe a). Diese beiden liegen aber nicht senkrecht zueinander, was man leicht durch das Skalarprodukt testen kann. Angenommen wir lassen den einen Richtungsvektor u so, wie er jetzt ist. Dann ist jetzt die Frage, wie wir einen zweiten Vektor finden, der zum einen senkrecht zu u steht UND natürlich auch in Kombination mit u dieselbe Ebene e aufspannt. Nun gibt es neben dem oben erwähnten Verfahren z.B. auch noch die Möglichkeit das Kreuzprodukt eines Normalenvektors von e und u zu bilden. Nennen wir den daraus entstehenden Vektor mal w. Ist dir klar, dass u und w dann senkrecht zueinander stehen müssen und beide auch dieselbe Ebene e aufspannen können ? Der letzte Schritt wäre dann nur noch die Normierung der beiden Vektoren, also sie auf die Länge 1 zu bringen - dazu benötigt man lediglich den Betrag der beiden Vektoren. Ist dir klar, wie man Vektoren normiert ?

zu c) Wenn du es dann mit der Koordinatenform machen möchtest, dann bist du schon fast fertig. Setzen wir z=t und erhalten damit:

x=8-1t
y=0+0t
z=0+1t

Daran kann man eine mögliche Schnittgeradengleichung ablesen, wie lautet sie also ?

Der Ansatz mit der Parameterform wäre über $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die zweite Zeile kann man wunderbar nach r auflösen (in Abhängigkeit von s) und dann wiederum in e einsetzen und etwas zusammenfassen.

27.12.2014, 21:59

Lorli

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ok. Fange ich mal bei c an.
Für mich ist es mit der Koordinatenform einfacher. Ich vergesse nur leider immer den Schritt mit gleich t setzen unglücklich

Die Schnittgerade müsste dann $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

zu b) Dieses Verfahren haben wir anscheinend nicht gemacht.
Das heißt, ich bilde das Kreuprodukt aus $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{u}x\vec{v} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ zu erhalten, richtig? Das wäre dann(1,2,-1).
Normiert werden müssen u und w, oder? Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 3/\sqrt{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Und um e aufzustellen, nimmt man wieder A als Aufpunkt+ r*Unormiert+ s*Wnormiert?

27.12.2014, 22:06

Bjoern1982

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Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 3/\sqrt{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Schade, hier hast du u und v normiert, statt u und w.

Ansonsten hast du es prima gemacht. Freude

27.12.2014, 22:24

Lorli

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oh ja stimmt, da habe ich mich verschrieben.
Also ist die Ebene aus a) identisch mit der aus b), sobald die Parameter r und s gleich sind? Oder kann man das so nicht sagen verwirrt

27.12.2014, 22:37

Bjoern1982

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Die Ebenen aus a) und b) sind identisch, das stimmt.
Die Parameter haben damit nichts zu tun.
Durch Einsetzen von irgendwelchen Zahlen für die Parameter r und s, erhält man eben einen Ortsvektor zu einem Punkt dieser Ebene. Mit Hilfe der Parameter kann man also jeden möglichen Ebenenpunkt ansteuern.

27.12.2014, 23:00

Lorli

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Achso,jetzt ist es klar.
Vielen Dank für die ausführliche Hilfe Blumen

27.12.2014, 23:04

Bjoern1982

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Gern geschehen und viel Erfolg weiterhin. Wink

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