Verschoben! Matrix: Fragen zur quadratischen Form

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27.12.2014, 22:45	Damato	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix: Fragen zur quadratischen Form Hallo allerseits Gegeben ist folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Folgendes wird verlangt: a) Die Quadratische Form $\begin{eqnarray} Q_{A} \end{eqnarray}$ Ich komme auf: $\begin{eqnarray} X_{1}^{2} + 4(X_{1}X_{2}) + 5X_{2}^{2} + 2(X_{2}X_{3}) + X_{3}^{2} \end{eqnarray}$ b) Defintheit Nach Prüfung (Semi-Hurtwitz) aller Eigenwerte (grösser oder gleich Null) schliesse ich auf positiv semidefinit. Ist dies als Begründung ausreichend? c) $\begin{eqnarray} Q_{A}(X) \end{eqnarray}$ =0 (Für alle X) Bei dieser Teilaufgabe bin ich mir unsicher mit welchem Werkzeug ich dies erledigen sollte und komme gerade nicht weiter. Einerseits könnte ich die Matrix mit erlaubten Umformungen auf diese reduzierte Matrix bringen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Und dann die Lösung mit x und einem frei gewählten Parameter angeben. Aber da bin ich mir unsicher wegen dem Zusammenhang mit der quadratischen Form. Der andere Ansatz, bei dem ich an Nullstellen denke sind Eigenwerte und Eigenvektoren. Da hatte ich mit quadratischen Formen, Ausklammern und Nullstellen zu tun. Oder doch mit der quadratischen Form von a) weiterrechnen..? Hoffe ihr habt einen Tipp für mich! Danke
28.12.2014, 00:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix: Fragen zur quadratischen Form zu a) ist richtig zu b) ist ausreichend zu c) $\begin{eqnarray} X_{1}^{2} + 4(X_{1}X_{2}) + 5X_{2}^{2} + 2(X_{2}X_{3}) + X_{3}^{2} \end{eqnarray}$ ist Summe von zwei Quadraten
28.12.2014, 17:14	Damato	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die rasche Antwort. Die Antwort zu c) kann ich noch nicht richtig einordnen. Wie muss man das lösen?
28.12.2014, 17:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X_{1}^{2} + 4(X_{1}X_{2}) + 5X_{2}^{2} + 2(X_{2}X_{3}) + X_{3}^{2}=<br /> X_{1}^{2} + 4(X_{1}X_{2}) + 4X_{2}^{2} + X_{2}^{2} + 2(X_{2}X_{3}) + X_{3}^{2}<br /> \end{eqnarray}$
28.12.2014, 19:59	Damato	Auf diesen Beitrag antworten »
Stehe noch an. Muss man mit dem Lagrange ran? Oder wie meinst du Summe zweier Quadraten?
28.12.2014, 20:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomische Formeln
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28.12.2014, 20:26	Damato	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (X_{1}+2X_{2})^{2} + (X_{2}+X_{3})^{2} \end{eqnarray}$ Hieraus die Nullstellen berechnen? Ginge es nicht präziser?
28.12.2014, 20:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So war die Idee. Was meinst du mit präziser?
28.12.2014, 20:43	Damato	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das wären dann unendlich viele Lösungen und ich müsste Parameter setzen? Zu deiner Frage: Da bin ich mir auch noch unsicher, aber knapp erwähnt wurden unter diesem Kapitel noch Taylor-Polynome und die Lagrange-Funktion für Extremalstellen. Die beiden sind mir nicht gerade geläufig, daher die Frage, ob man damit eine Antwort geben könnte.
28.12.2014, 21:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Die Summe der beiden Quadrate ist genau dann null, wenn jeder Summand Null ist. Aus den beiden Gleichungen bekommt man eine Gerade, es reicht also ein Parameter. Alternativ: Die quadratische Form ist positiv-semidefinit. Also sind die Nullstellen lokale Minima, die man durch Nullsetzen der Ableitung findet. Das liefert wieder die Gerade. Da man keine Nebenbedingungen hat, braucht man auch keine Lagrangemultiplikatoren.
28.12.2014, 22:47	Damato	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X_{1} + 2X_{2} = 0 => X_{1} = -2X_{2} <br /> X_{2} + X_{3} = 0 => X_{3} = - X_{2} \end{eqnarray}$ Setzte $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ als Parameter: $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} X_{1} = -2t<br /> X_{3}= -t \end{eqnarray}$ Ist das so richtig und die Lösung? Vielen Dank für die Aufklärung.
28.12.2014, 23:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt so

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