Ungleichung, Beweis

28.12.2014, 00:55	klim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung, Beweis Hallo, könnte jemand helfen, folgende Ungleichung zu beweisen: $\begin{eqnarray} (\lambda-(m+1)) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+1}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} (m+1-j) \leq \frac{\lambda}{\lambda-m} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m+1 < \lambda \end{eqnarray}$ . m ist dabei ganzzahlig mit $\begin{eqnarray} m \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ reell.
28.12.2014, 12:08	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion Hallo klim, was hast du denn bisher versucht? Da $\begin{eqnarray} m\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ würde ich es doch mir einer Induktion über $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ probieren. Für $\begin{eqnarray} m=0 \end{eqnarray}$ wäre der Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} <br /> (\lambda -1)\frac{1}{\lambda}(\frac{1}{1}\cdot 1)=\frac{\lambda-1}{\lambda}\leq\frac{\lambda}{\lambda}=1<br /> \end{eqnarray}$
28.12.2014, 16:53	klim	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion Genau das habe ich versucht, aber es klappt nicht: Ich habe beide Seiten mit $\begin{eqnarray} \lambda-m \end{eqnarray}$ multipliziert und durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ geteilt. Damit haben wit zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} (\lambda-m) \cdot (\lambda-(m+1)) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+2}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} \cdot (m+1-j) \leq 1 \end{eqnarray}$ . Wenn man Schritt nach Schritt m auf m+1 erweitert, dann haben wir: $\begin{eqnarray} (\lambda-(m+1)) \cdot (\lambda-(m+2)) \cdot \frac{(m+1)!}{\lambda^{m+3}} \cdot \sum_{j=0}^{m+1} \frac{\lambda^j}{j!} \cdot (m+2-j) \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{m+1}{\lambda} +(\lambda-m) \cdot (\lambda-(m+1)) \cdot \frac{(m+1)!}{\lambda^{m+3}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} - 2 \cdot (\lambda-(m+1)) \cdot \frac{(m+1)!}{\lambda^{m+3}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} (m+2-j) +\frac{(\lambda-(m+1))(\lambda-(m+2))}{\lambda^2} \end{eqnarray}$ Ich kann aber nicht zeigen, dass linke Seite kleiner gleich 1 ist.
28.12.2014, 23:18	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deinen Schritt leider nicht nachvollziehen. Ich habe das ganze mal ausgeschrieben und etwas gekürzt. Damit habe ich es geschafft.
29.12.2014, 00:00	klim	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir deine Schritte zeigen?

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