Darstellende Matrix, Lineare Abbildung, Basis

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28.12.2014, 11:58	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix, Lineare Abbildung, Basis Meine Frage: Tag gesagt Ich habe folgende Aufgabe und komme nicht weiter, ich weiß, dass es eine sehr allgemein gehaltene Aufgabe ist, aber ich hab so gar keine Ahnung. Ich habe folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} L: V \to V \\<br /> \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} a-2b & 0 \\ 0 & 3b \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Die darstellende Matrix von L bezüglich einer Basis B sei: $\begin{eqnarray} L_{B} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ a) Wie viele Elemente gibt es in der Basis B (Lösung ist n) b) Bestimmen Sie die Koordinatenabbildung(en) $\begin{eqnarray} K_{B}(B_{n}) \end{eqnarray}$ n sei dabei die Anzahl der Elemente aus Aufgabe a) c) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} L_{B}(K_{B}(B_{n})) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) Ich denke dass es 2 elemente in der Basis gibt B1 und B2 weiter komme ich aber auch nicht...kann mir jemand tipps geben bitte?
28.12.2014, 12:49	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Ja. b) Wie ist denn die Abbildungsmatrix definiert? Hier ist etwa $\begin{eqnarray} L(B_1)=3\cdot B_1 \end{eqnarray}$ .
28.12.2014, 13:02	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh deine Frage nicht?
28.12.2014, 13:32	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Darstellende Matrix $\begin{eqnarray} A=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}(f) \end{eqnarray}$ einer Linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ mit Basis $\begin{eqnarray} \mathcal{B}=\left\{ v_1,\dots,v_n\right\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und Basis $\begin{eqnarray} \mathcal{C}=\left\{ w_1,\dots,w_m\right\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ist doch so definiert, dass $\begin{eqnarray} f(v_j)=\sum_{k=1}^m a_{kj}\cdot w_k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1\leq j\leq n \end{eqnarray}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ . Anwenden dieser Definition löst deinen b)-Teil.
28.12.2014, 13:34	Tina-Marie	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L(B_{1}) = 3\cdot B_{1} \\<br /> L(B_{2}) = 2 \cdot B_{1} + 1 \cdot B_{2} \end{eqnarray}$
28.12.2014, 13:40	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du da vielleicht ein Beispiel nennen?
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28.12.2014, 13:46	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze beruht darauf, dass eine Lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist, wenn man die Bilder der Basisvektoren kennt. Du kannst etwa $\begin{eqnarray} \mathcal{C}=\mathcal{C}=\left\{ e_1,\dots,e_n\right\} \end{eqnarray}$ setzen und $\begin{eqnarray} M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}(f)=\mathrm{diag}(1,2,\dots,n-1,n) \end{eqnarray}$ . Dann ist für alle $\begin{eqnarray} 1\leq j\leq n \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} f(e_j)=j\cdot e_j \end{eqnarray}$ .
28.12.2014, 13:52	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh das einfach nicht...ich seh den Zusammenhang zu meiner Aufgabe nicht Ich begreife ja das KB(B1) und KB(B2) irgendwie Vektoren sein müssen in denen irgendwie a und b vorkommt...
28.12.2014, 14:50	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich hab einen Geistesblitz... $\begin{eqnarray} K_{B}(B_{1}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{B}(B_{2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_{B}( K_{B}(B_{1})) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_{B}( K_{B}(B_{2})) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sag mir bitte, dass das richtig ist und ich das simple nicht gesehn hab

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