Vektorraum reellwertiger Polynome...

28.12.2014, 17:00

D2109

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Vektorraum reellwertiger Polynome...

Hallo liebe Helfer,

meine zu bearbeitende Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x]_{\leq n} := \{a_0+a_1x+...+a_nx^n|a_i \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der reellwertigen Polynome vom Grad kleiner gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

a) Geben Sie einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x]_{\leq 2} \to \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ an.

b) Zeigen Sie, dass die Polynome $\begin{eqnarray*} (x-1)^i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\geq 0 \end{eqnarray*}$ eine Basis des Polynomringes $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$ bilden.

c) Berechnen Sie die darstellende Matrix der linearen Abbildung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R [x]_{\leq n} \to \mathbb R [x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{i} \mapsto (x-1)^{i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,...,n \end{eqnarray*}$

bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} 1,x,...,x^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$ .

Leider habe ich bezüglich der Teilaufgaben nicht mal einen Ansatz .. zu a) weiß ich z.B., dass eine bijektive lineare Abbildung ein Isomorphismus ist. Mehr kann ich damit aber leider nicht anfangen...

Zum Rest hab ich wirklich leider überhaupt keine Ahnung, kann es einfach nicht mit unseren Vorlesungsunterlagen in Verbindung bringen...

Hoffe, mir kann da jemand helfen. Schon mal vielen Dank im Voraus! smile

smile

28.12.2014, 17:50

bijektion

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Fang mit a) an.
Wie sieht $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x]_{\leq 2} \end{eqnarray*}$ aus?

28.12.2014, 18:00

D2109

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Hallo,

erstmal vielen Dank für die Antwort smile

smile

Also ich vermute: $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x]_{\leq 2} := \{ a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 | a_i \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ . Oder ?

Entsprechend wäre die Basis davon ja: $\begin{eqnarray*} 1, x, x^2 \end{eqnarray*}$ ... Oder ?

28.12.2014, 18:02

bijektion

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Ja. Jetzt bietet sich doch eine Abbildung an, die die $\begin{eqnarray*} a_l \end{eqnarray*}$ auf Vielfache des Standardbasisvektors $\begin{eqnarray*} e_l \end{eqnarray*}$ abbildet.
Welche könnte das sein?

Die Basis stimmt, du solltest also $\begin{eqnarray*} x^l \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} e_l \end{eqnarray*}$ abbilden, dann bist du schon fertig.

28.12.2014, 18:07

D2109

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Hmm... bedeutet es dann, da ich ja die Basis habe, kann ich diese als Linearkombination aufschreiben und damit jedes Polynom der Form herausbekommen.

Also... als Vektor bzw Linearkombination:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = 1 \cdot e_1 + x \cdot e_2 + x^2 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$ ... oder nicht ?

28.12.2014, 18:11

bijektion

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Das hast du jetzt verdreht, die Abbildung müsste $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \ni a_0+a_1\cdot x +a_2\cdot x^2 \mapsto a_0\cdot \vec{e_1} + a_1\cdot \vec{e_2} +a_3\cdot \vec{e_3} \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ lauten.
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \vec{e_1}=(1,0,0\dots,0), \vec{e_2}=(0,1,0\dots,0),\dots, \vec{e_n}=(0,0,0\dots,1) \end{eqnarray*}$ .

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28.12.2014, 18:19

D2109

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Oh, verdammt... stimmt .. woran genau seh ich denn jetzt, dass dies ein Isomorphismus ist ?

28.12.2014, 18:23

bijektion

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Nachrechnen.

28.12.2014, 18:28

D2109

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Aha, ok.

Augenzwinkern

Wie geh ich bei der b) vor ? smile

smile

28.12.2014, 18:29

bijektion

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Nimm dir ein $\begin{eqnarray*} P(x)\in\mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ her und stelle es in der Basis da. Die Lineare Unabhängigkeit sieht man ja.

28.12.2014, 18:42

D2109

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Wäre das dann

$\begin{eqnarray*} P(x) = a_0 + a_1 \cdot (x-1)^1 + a_2 \cdot (x-1)^2 +...+ a_n \cdot (x-1)^n \in \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$ ?

28.12.2014, 19:08

bijektion

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Du musst aber $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k\cdot x^k \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ in der anderen Basis darstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2014, 19:13

D2109

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Ach, muss ich dann zu jedem $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ hinzufügen, damit sich das Ganze wieder "ausgleicht"? Oder darf ich die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ s an sich nicht verändern?

Aber Stop, sobald die Basis eine Hochzahl von $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$ hat, kommen die binomischen Formeln hinzu.. jetzt weiß ich leider echt nicht mehr weiter..

28.12.2014, 20:30

bijektion

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Du kannst auch zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n \lambda_j\cdot (x-1)^j = 0 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\dots=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

28.12.2014, 21:07

D2109

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Gut, damit habe ich dann ja die lineare Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} (x-1)^{i} \end{eqnarray*}$ gezeigt. Aber wie bringe ich das denn jetzt mit dem Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$ in Verbindung?

Tut mir wirklich leid, wenn meine Fragen teilweise blöd rüberkommen.. aber bei dem Thema brauche ich wirklich etwas länger, um die Dinge im Kontext und zusammenhängend zu verstehen, selbst, wenn ich die Vorlesungsunterlagen vor mir liegen habe.

Trotzdem vielen Dank für die Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2014, 21:08

bijektion

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Zitat:

Aber wie bringe ich das denn jetzt mit dem Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$ in Verbindung?

Das sind doch offensichtlich Polynome in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

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