Gleichungssystem für Wellengleichung

28.12.2014, 17:12

helm1234

Gleichungssystem für Wellengleichung

Hallo!
Ich habe folgendes Problem, im Zuge einer Lösung der Wellengleichung bin ich in die Verlegenheit geraten folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$\begin{eqnarray*} F \cdot e^{-\kappa a}+J \cdot e^{-\kappa a}=2 \cdot G \cdot cos(ka) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \cdot \kappa \cdot e^{-\kappa a}-J\cdot \kappa \cdot e^{-\kappa a}=2 \cdot H \cdot k \cdot cos(ka) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \cdot e^{-\kappa a}-J \cdot e^{-\kappa a}=-2 \cdot H \cdot sin(ka) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \cdot \kappa \cdot e^{-\kappa a}+J\cdot \kappa \cdot e^{-\kappa a}=2 \cdot G \cdot k \cdot sin(ka) \end{eqnarray*}$

Die Lösung soll wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} G \cdot (\frac{1}{tan(ka)}-\frac{k}{\kappa})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H \cdot (tan(ka)+\frac{k}{\kappa})=0 \end{eqnarray*}$

Ich komme leider nicht auf die Lösung, habs über das Eliminierungsverfahren probiert, da aber in jeder Gleichung sowohl F als auch J vorkommen geht das meiner Ansicht nach nicht.
Hat da jem einen Tipp?
Weiters steht im Lösungshinweis das wenn $\begin{eqnarray*} G \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt zwangsweise $\begin{eqnarray*} H=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss und umgekehrt, das raff ich auch nicht so ganz! verwirrt

Vielen Dank!
lg.

28.12.2014, 18:13

outSchool

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RE: Gleichungssystem für Wellengleichung
Hallo,

schreibe die Gleichungen mal so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \kappa & -\kappa \\ 1 & -1 \\ \kappa & \kappa \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F \cdot e^{-\kappa a} \\ J \cdot e^{-\kappa a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot G \cdot cos(ka) \\ 2 \cdot H \cdot k \cdot cos(ka) \\ -2 \cdot H \cdot sin(ka) \\ 2 \cdot G \cdot k \cdot sin(ka) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt die zweite und vierte Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ teilen. Das resultierende Gleichungssystem enthält nun zweimal zwei gleiche Gleichungen, diese gleichsetzen, usw . . .

28.12.2014, 18:17

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} G \cdot (\frac{1}{tan(ka)}-\frac{k}{\kappa})=0 \end{eqnarray*}$

Das hier entsteht, wenn du die vierte Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ dividierst und dann die rechten Seiten der ersten und vierten Gleichung gleichsetzt und noch etwas umstellst.

Zitat:

Weiters steht im Lösungshinweis das wenn $\begin{eqnarray*} G \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt zwangsweise $\begin{eqnarray*} H=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss und umgekehrt, das raff ich auch nicht so ganz!

Du hast da ja ein Produkt, das nur dann null werden kann, wenn einer der beiden Faktoren null wird.
Wenn G in der ersten Gleichung aus deiner Kontroll-Lösung nicht null ist, dann muss $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{tan(ka)}-\frac{k}{\kappa}) \end{eqnarray*}$ null sein. Das hat dann aber wiederum Konsequenzen für $\begin{eqnarray*} (tan(ka)+\frac{k}{\kappa}) \end{eqnarray*}$ in der anderen Gleichung...

28.12.2014, 18:24

helm1234

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So, k.A ob das Sinn ergibt aber ich komm jz mal auf folgendes:

Ich hebe aus der 2.Gleichung kappa heraus, und kann dann die 3.Gleichung dafür einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\kappa \cdot 2 \cdot H \cdot sin(ka)=2 \cdot H \cdot k \cdot cos(ka) \end{eqnarray*}$

Dann kürz ich die 2 und das H heraus, forme ein wenig um und erhalte:

$\begin{eqnarray*} k+\kappa \cdot tan(ka)=0 \end{eqnarray*}$

Dann dividiere ich durch kappa und multipliziere den Ausdruck einfach mit H und habe das Ergebnis von meinem 1.Post.
Ist das mathematisch sauber oder gibts ne andere Lösung?

28.12.2014, 18:26

helm1234

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Sry...hatte nicht gesehen das ich schon Antworten habe...habe doch länger für das Verfassen meines Beitrages gebraucht als gedacht... Hammer

28.12.2014, 18:33

Bjoern1982

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Zitat:

Dann kürz ich die 2 und das H heraus,

Mit der 2 kannst du das bedenkenlos tun.
Bei H jedoch nicht, da H theoretisch null werden kann und man ja nicht durch null dividieren darf.
Ähnliches gilt übrigens auch für andere Variablen, wie z.B. kappa - existieren da noch irgendwelche Definitionsbereiche ?
Statt durch H zu dividieren und nachher wieder dazu multiplizieren, schleppe es einfach mit.
Bringe also alles auf eine Seite, so dass rechts null steht und Klammere H dann aus.

28.12.2014, 18:43

helm1234

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Ja, das hatte ich die ganze Zeit nicht bedacht, sowohl kappa als auch k müssen ungleich Null sein, sonst kommt keine physikalisch sinnvolle Lösung raus.

Ähnliches gilt für H und G, da darf nur jeweils einer Null sein, wenns beide sind ist es auch sinnlos weil ich dann gar keine Welle mehr habe, das schlägt sich dann auch in der Überlegung zu den beiden nieder die ich beschrieben habe.

Man sollte halt vorher mal nachdenken bevor man stur zu rechnen beginnt! Finger1

Danke für die Hilfe!

lg.

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