Bedingte Wahrscheinlichkeiten , bzw. Bayes korrektur

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29.12.2014, 13:27	Stochastik-Neuling	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten , bzw. Bayes korrektur Meine Frage: Nehmen wir an,dass $\begin{eqnarray} 80 \% \end{eqnarray}$ der Studierenden,deren Name auf einer abgegebenen Bearbeitung eines Übungsblatts erscheinen,die gelösten Aufgaben selbst bearbeitet haben, und dass $\begin{eqnarray} 75\% \end{eqnarray}$ diese Studierenden die Klausur zur Vorlesung im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Versuch bestehen.Die restlichen $\begin{eqnarray} 20 \% \end{eqnarray}$ der Studierenden haben sich nur auf die Abgabe von jemand anderes mit drauf schreiben lassen,ohne die Aufgaben anzusehen. Nehmen wir an,dass $\begin{eqnarray} 10 \% \end{eqnarray}$ der letzeren Studiernden die Klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Versuch bestehen. Betrachten sie die Ereignisse $\begin{eqnarray} A:" \end{eqnarray}$ Studierender hat die Aufgabe selbst bearbeitet. $\begin{eqnarray} " \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B:" \end{eqnarray}$ Studierender hat die Klausur im 1.Verusch bestanden. $\begin{eqnarray} " \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a) \end{eqnarray}$ Welche der Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(A),P(A^c),P(B),P(B^c),P(A\|B),P(A^c\|B),<br /> P(A\|B^c),P(A^c\|B^c),P(B\|A),P(B\|A^c),P(B^c\|A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B^c\|A^c) \end{eqnarray}$ sind im Text gegeben? Geben sie die Wahrscheinlichkeiten an. $\begin{eqnarray} b) \end{eqnarray}$ Berechnen sie die anderen Wahrscheinlichkeiten (in angemessener Reihenfolge) $\begin{eqnarray} c) \end{eqnarray}$ Beschreiben sie die Wahrscheinlichkeiten<math> P(B^c\|A)[/latex] und $\begin{eqnarray} P(B\|A^c) \end{eqnarray}$ verbal. Meine Ideen: Lösung: $\begin{eqnarray} a ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A) = 0,8 = 80% , P(A^c) = 0,2 = 20% , \end{eqnarray}$ "Studierender hat die Aufgabe selbst bearbeitet" unter der Bedingung "Studierender hat die Klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Verusch bestanden". $\begin{eqnarray} P(A\|B)= 0,75=75% \end{eqnarray}$ , "Studierender hat die Aufgabe nicht selbst bearbeitet" unter der Bedingung "Studierender hat die Klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Verusch bestanden". $\begin{eqnarray} P(A^c\|B)= 0,1=10% \end{eqnarray}$ "Studierender hat die Aufgabe selbst bearbeitet" unter der Bedingung "Studierender hat die Klausur nicht im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Verusch bestanden". $\begin{eqnarray} P(A\|B^c)= 0,05=5% \end{eqnarray}$ "Studierender hat die Aufgabe nicht selbst bearbeitet" unter der Bedingung "Studierender hat die Klausur nicht im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Verusch bestanden". $\begin{eqnarray} P(A^c\|B^c)= 0,10=10% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B\|A),P(B\|A^c),P(B^c\|A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B^c\|A^c) \end{eqnarray}$ werde ich nun mit der Formel von Bayes berechen, aber vorneweg muss ich noch $\begin{eqnarray} P(B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B^c)=1-P(B) \end{eqnarray}$ berechen $\begin{eqnarray} P(B) = 0,8 \frac{3}{4} + \frac{1}{10}= 0,7 = 70%, \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} 75%= \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} 80% \end{eqnarray}$ bestanden haben im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ Versuch und nochmal $\begin{eqnarray} \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ von den restlichen $\begin{eqnarray} 20% \Rightarrow P(B^c)=1-P(B)= 1-0,7= 0,3 = 30% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B\|A) \end{eqnarray}$ mit Bayes,weil wir es jetzt mit einer art inversem Baumdiagramm so tuen haben. $\begin{eqnarray} P(B\|A)= \frac{P(A\|B)P(B)}{P(A)} = \frac{0,750,7}{0,8} = 0,6562 \approx 65,62% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B\|A^c)= \frac{P(A^c\|B)P(B)}{P(A^c)} = \frac{0,10,7}{0,2} = 0,35 \approx 35% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B^c\|A)= \frac{P(A\|B^c)P(B^c)}{P(A)} = \frac{0,050,3}{0,8} = 0,01875 \approx 1,87% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B^c\|A^c)= \frac{P(A^c\|B^c)P(B^c)}{P(A^c)} = \frac{0,10,3}{0,2} = 0,15 \approx 15% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c) \end{eqnarray}$ Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(B^c\|A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B\|A^c) \end{eqnarray}$ verbal $\begin{eqnarray} P(B^c\|A)= 1,87% , \end{eqnarray}$ beudetet die W'keit ist $\begin{eqnarray} 1,87% \end{eqnarray}$ dass man die Klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ ten Versuch nicht besteht unter der Bedingung dass man alle Aufgaben selbst gemacht hat $\begin{eqnarray} P(B\|A^c)= 35% , \end{eqnarray}$ bedeutet die W'keit ist $\begin{eqnarray} 35% \end{eqnarray}$ ,dass man die klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray*}$ ten Versuch besteht unter der Bedingung,dass man die Aufgaben nicht selbst bearbeitet hat. danke für korrekturen und Feedbacks
29.12.2014, 19:21	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, da P(B) schon nicht stimmt würde ich gerne mal ganz vorne mit dir anfangen, bevor wir dann die anderen Probleme klären. Ganz allgemein kann man eine Wahrscheinlichkeit als einen Quotient von Anzahlen betrachten: $\begin{eqnarray} P(X)=\frac{Anzahl~guenstige~Ereignisse}{Anzahl~aller~Ereignisse} \ \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt P(B) berechnen willst muss du die Anzahl der Studenten, die die Prüfung beim 1. mal bestehen durch die Anzahl aller Studenten teilen. Dein Ansatz geht zwar auch, dann musst du aber die richtigen Werte einsetzen. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten aus a) stimmen nicht, denn es muss gelten $\begin{eqnarray} P(A\|B)+P(A^c\|B)=1 \end{eqnarray}$ . Wie hast du die Ergebnisse bestimmt? Versuch doch mal, die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit anzuwenden. Für Frage a) musst du auch noch einmal überlegen, was alles aus dem Text entnommen werden kann. Da fehlt noch einiges. b) und c) machen wir danach würde ich sagen!
30.12.2014, 12:33	Stochastik-Neuling	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo danke für deine Antwort. Ich würde erst gerne $\begin{eqnarray} P(B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B^c) \end{eqnarray}$ ausrechnen ,weil sonst sich der Fehler fortsetzt in den Bed.Wahrscheinlichkeiten. $\begin{eqnarray} P(B) = 85 % , \end{eqnarray}$ bestehen dann nicht $\begin{eqnarray} 85% \end{eqnarray}$ der Studierenden im ersten versuch ? dann würden ja $\begin{eqnarray} P(B^c) = 15% \end{eqnarray}$ die Klausur nicht schaffen,ist das richtig so ? die Formel für Bed. Wahrscheinlichkeiten wäre jetzt $\begin{eqnarray} P_A(B):= P(B\|A):= \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \end{eqnarray}$ sorry ,dass ich nicht mehr machen konnte lieben gruss der Stochastik-Neuling
30.12.2014, 14:02	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja soweit richtig. Du musst jetzt nur aufpassen was zu a) und was zu b) gehört. Vielleicht machst du wirklich erstmal eine Liste was im Text steht und was nicht. Danach berechnen! LG
30.12.2014, 14:33	Stochastik-Neuling	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ich habe ein problem ich habe im Text gefunden, dass $\begin{eqnarray} P(A)= 0,8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A^c)=0,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B)=0,85 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B^c)=0,15 \end{eqnarray}$ . wir ich die bedingten wahrscheinlichkeiten raus fischen soll,weis ich nicht...:/ ich hab dann mal einfach die Formel $\begin{eqnarray} P_A(B):= P(B\|A):= \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \end{eqnarray}$ benutzt, jedoch hab ich da schon benutzt das $\begin{eqnarray} P(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B) \end{eqnarray}$ stoch.Unabhängig sind und habe für $\begin{eqnarray} P(A\|B) = 0,80 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} P(A^c\|B) = 0,2 \end{eqnarray}$ raus. $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ kannst du mir vielleicht zeigen,wie man das ablesen kann,wenn es möglich ist. und wie soll ich beim stoch. Unabhängigkeits $\begin{eqnarray} P(A \cap B) \end{eqnarray}$ zeigen ?
30.12.2014, 17:02	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Also P (B) steht nicht im Text. Das hast du richtig berechnet aber im Text steht es nicht. Im Text hast du die Angaben 80, 75, 20 und 10. Wozu gehören diese Angaben? Das gehört dann auch zu a). Alles andere gehört demnach zu b)! Also P (was) = 80/100? P (was) = 75/100? P (was) = 20/100? P (was) = 10/100? Ich hoffe das hilft erstmal.
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30.12.2014, 17:21	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah und P(was)=75/80 und P(was)=10/20 Stehen noch im Text! Mehr würde ich jetzt nicht rauslesen.
30.12.2014, 18:41	Stochastik-Neuling	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(A) = 80/100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P() = 75/100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A^c) = 20/100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P () = 10/100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P (B\|A) = 75/80/l]<br /> [l] P (A^c\|B) = 10/20 \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} P() = 75/100 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P () = 10/100 \end{eqnarray}$ hab ich keinerlei ahnung sorry .. :/
30.12.2014, 18:49	Stochastik-Neuling	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: $\begin{eqnarray} P(B\|A)=75/80 und P(A^c\|B)=10/20 \end{eqnarray}$
30.12.2014, 20:36	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} P(A) \end{eqnarray}$ stimmt, $\begin{eqnarray} P(A^C) \end{eqnarray}$ stimmt, $\begin{eqnarray} P(B\|A) \end{eqnarray}$ stimmt und wenn du $\begin{eqnarray} P(A^C\|B) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} P(B\|A^C) \end{eqnarray}$ schreibst stimmts auch (bitte selber nachvollziehen). Ok zu den anderen beiden. Kannst du in Worte fassen, welche Eigenschaften die 75 Stunden besitzen und welche Eigenschaften die 10? Vielleicht kannst du diese dann auch mit Mengenbezeichnungen darstellen. Danach kannst du vielleicht ja schon mal ein paar der restlichen Angaben für b) berechnen. LG
31.12.2014, 11:31	Stochastik-Neuling	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 75 % \end{eqnarray}$ Studenten Eigenschaft: Haben die Aufgaben selbst erledigt und haben die Klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ ten Versuch bestanden $\begin{eqnarray} P(?)= 0,75 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10% \end{eqnarray}$ Studenten Eigenschaft: Haben die Aufgaben nicht selbst erledigt und haben die Klausur im $\begin{eqnarray} 1. \end{eqnarray}$ ten Versuch bestanden $\begin{eqnarray} P(A\|B^c) = 0,10 \end{eqnarray}$ ich versuche mir das die ganze zeit klar zu machen ,aber raffs irgendwie nicht $\begin{eqnarray} b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1. P(B) = 0,1+0,75 = 0,85 = 85% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B^c)= 1-P(B) = 1-0,85= 0,15 = 15 % \end{eqnarray}$ jetzt via Formel von Bayes die lautet $\begin{eqnarray} P(A\|B) = \frac{P(B\|A)P(A)}{P(B)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A\|B) = \frac{\frac{75}{80}0,8}{0,15}= 88,24 % \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A^c\|B) = \frac{\frac{10}{20}0,8}{0,15}= 11,76 \end{eqnarray}$ aus diesen Berechnung folgere ich ,dass die von mir oben nicht gelösten aufgaben irgendwas mit $\begin{eqnarray} P(A\|B^c), P(A^c\|B^c),P(B^c\|A),P(B^c\|A^c) \end{eqnarray*}$ sorry sneeper88 für mein versagen
31.12.2014, 19:33	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Stichwort ist UND^^ Das hast du richtig formuliert. Die Menge der Studenten die in A UND B sind schreibt man als $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ . Analog die Studenten, die in Ac UND B sind! Demnach ist $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=0,75 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(A^c\cap B)=0,1 \end{eqnarray}$ Damit kannst du auch verwenden $\begin{eqnarray} P(A\|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray}$ . Du kannst für alle weiteren Rechnungen die Definition der bedingten Wkeit verwenden oder auch mit dem Satz von Bayes arbeiten. Das kannst du dir aussuchen. Wenn du eine Vierfeldertafel machst, was m.E. am einfachsten ist, kannst du alles andere leicht durch einsetzen ausrechnen. Ich guck morgen Nachmittag wieder rein! Guten Rutsch!

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