Wurzel komplexe Zahlen

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bmikel Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel komplexe Zahlen
Meine Frage:
Beim Wurzelziehen im komplexen gibt es folgende Formel: w1=(|z|^(1/n))*(cos(phi/n)+i*sin(phi/n)). Bei w2 addiert man zu phi 2 pi dazu bei w3 2*2pi usw. bis man bei (n-1)*2pi angelangt ist. Im Buch steht dass wenn man die w(n+1) te Wurzel ausrechnet diese ident mit w1 ist. Das würde bedeuten, dass man nach dem kürzen folgende Identität für den Realteil erhält: cos(phi/n) = cos ( (phi + 2pi*n)/n). Wenn man Zahlen für phi und n einsetzt stimmt die Formel.

Meine Ideen:
Wenn man den cos herauskürzt erhält man phi/n = (phi + 2pi*n)/n und weiters: 2pi*n = 0. Das kann aber nicht sein da n=/ 0 gilt. Gibt es dazu eine Erklärung?
Danke schon mal im Voraus
Lg Michael
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, und herzlich Willkommen im Forum Willkommen

Was meinst du mit: "wenn man den Cosinus herauskürzt" ?
Falls du damit meinst: "Wenn man den Cosinus einfach mal weglässt ohne eine Begründung warum das gehen soll",
so frage ich erstmal, warum du meinst, dass das richtig ist. Es gilt ja zum Beispiel auch cos(1) = cos(-1). Aber 1= -1 verwirrt
bmikel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
erstmal Danke für die Antwort Big Laugh

Also deine Argumentation kling durchaus sinnvoll. Verstehst du was an meiner Überlegung falsch ist? : Die Umkehrfunktion vom cos ist der arccos. Dein Beispiel: cos(1) = cos(-1) => 1 = arccos(cos(-1)) korrekt?
bmikel Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt noch ein bisschen nachgeforscht und bin zu einer neuen Fragestellung gekommen: warum ist der arccos(cos(x)) =/ cos(arccos(x)) ? ; Warum ist der arccos(cos(x))= x+ 2*k*pi und warum zeigt mir dass wolfram alpha nicht an wenn ich es eintippe? smile
Lg
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich glaube dir fehlt etwas Grundverständnis zur Umkehrbarkeit des Cosinus und dazu, was man von einer Umkehrfunktion erwarten darf. Eine kleine Erklärung:
Der Cosinus ist mit Definitionsbereich nicht umkehrbar, weil er dort nicht injektiv ist.
Deswegen muss man, wenn man eine Umkehrfunktion des Cosinus haben will, zunächst mal den Definitionsbereich einschränken. Für gewöhnlich schränkt man den Definitionsbereich ein auf das Intervall . Tut man das, erhält man eine Umkehrfunktion mit für alle , sowie für alle . Das sind genau die Eigenschaften, die einem eine Umkehrfunktion liefert. Mehr gibt es nicht. Man darf also nicht erwarten, irgendwelche anderen Eigenschaften zu bekommen, wie zum Beispiel arccos(cos(x)) = cos(arccos(x)) wenn nicht gerade in liegt. Es gibt garkeine Rechtfertigung dafür, dass das gelten sollte.

Zitat:
Warum ist der arccos(cos(x))= x+ 2*k*pi
Das sollte man so nicht schreiben. Es ist einfach falsch. Es kommt auf an, was da genau herauskommt. Dass man überhaupt eine Eigenschaft in die Richtung angeben kann, liegt daran, dass der Cosinus -periodisch ist.
bmikel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort. An Injektivität habe ich nicht gedacht bzw. es zu wenig verstanden um hier anzuwenden. Die Formel arccos( cos x ) = x+2*k*pi habe ich von der seite rapidtables.com und habe deswegen angenommen, dass sie richtig ist.
Danke nochmal für die Antwort smile
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Wort hierzu:
Zitat:
arccos(cos(x))= x+ 2*k*pi


Richtig wäre: Für alle gibt es ein mit .

Zitat:
Danke nochmal für die Antwort smile

Gerne Augenzwinkern
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Auch nicht ganz, oder?
.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Danke fürs Aufpassen.
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